人教A版（2019）数学选择性必修二册 4_3_2等比数列的前n项和公式(2)导学案

4.3.2　等比数列的前n项和公式(2)
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．
2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．
3.能用分组转化法求数列的和．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P37～40，思考并完成以下问题
1. 在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？
2. 等比数列的前n项和还有哪些性质？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2． (　　)
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1． (　　)
(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列． (　　)
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列． (　　)
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－3　　　D．3
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A． B．－
C． D．
4．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________.
5．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为________．
三、新知探究
等比数列前n项和的性质
(1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
(2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.
②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q.
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．
思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？
[提示]　由题知{an}是等比数列，
∴3n的系数与常数项互为相反数，
而3n的系数为，∴k＝－.
四、题型突破
题型一 等比数列前n项和性质的应用
[探究问题]
1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？
[提示]　Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，
∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.
同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，
在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么等于何值？
[提示]　由等比数列的通项公式可知＝＝q.
【例1】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)
A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
[思路探究]　(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．
(2)利用 ＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．
【多维探究】
1．将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
2．将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
【反思感悟】
1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．
2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．
题型二　分组求和法
【例2】　在各项均为正数的等比数列中，已知a1＝2，8a2＋2a4＝a6.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Tn.
[思路探究]　(1)利用等比数列的基本运算求出{an}的通项公式．(2)根据bn＝an＋2n的特点，{an}和{2n}分别是等比数列和等差数列，所以可用分组求和法求数列前n项和．
【反思感悟】
分组转化求和法的应用条件和解题步骤
(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
(2)解题步骤
【跟踪训练】
1．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn.
题型三　等差数列与等比数列的综合应用
【例3】　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
[思路探究]　(1)根据已知条件得出关于a1，q的方程组，求解即可；(2)只需表示出前n项和，解指数不等式．
【反思感悟】
与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：
1. 转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.
2. 等差、等比数列公式和性质的灵活应用.
3. 当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.
【跟踪训练】
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝5×3n－3，bn＝.
(1)证明：数列{an－2×3n}为常数列；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
五、达标检测
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)
A．4　 B．10　　　 C．16　　　 D．32
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　)
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
3．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
六、本课小结
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
参考答案
课前小测
1．提示：(1)＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：D
解析：根据等比数列{an}的前n项和公式知Sn＝＝qn－(q≠1)，又Sn＝3n＋1－A＝3·3n－A，得＝3＝A，故选D.
3．答案：A
解析：法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝＝.故选A.
法二： 因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝＝－，
所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8×＝.故选A.
4．答案：2
解析：q3＝＝＝8，所以q＝2.
5．答案：5
解析：设此数列的公比为q，则 故此数列共有5项．
题型突破
【例1】答案：(1)A　(2)24
解析：(1)∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.
【多维探究】
1．解：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以，
所以或(舍去)，所以S4n＝30.
2．解：法一：∵S99＝＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32.
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56.
∴b1＝＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32.
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.
【例2】解：(1)设等比数列的公比为q(q>0)，
∵8a2＋2a4＝a6，∴8a1q＋2a1q3＝a1q5，又a1＝2，∴8＋2q2＝q4.
解得：q2＝4，∴q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.
(2)由(1)知：bn＝2n＋2n，
∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＝2＋＝2n＋1＋n2＋n－2.
∴数列{bn}的前n项和为Tn＝2n＋1＋n2＋n－2，n∈N*.
【跟踪训练】
1．解：Sn＝2＋4＋6＋…＋
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋
＝＋
＝n(n＋1)＋－
＝n2＋n－＋.
【例3】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得即
解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N*，k≥5}．
【跟踪训练】
2．解：(1)当n＝1时，S1＋a1＝5×3－3＝12，所以a1＝6；
当n≥2时，由Sn＋an＝5×3n－3①，得Sn－1＋an－1＝5×3n－1－3②，
①－②得，2an－an－1＝10×3n－1，
所以an－2×3n＝(an－1－2×3n－1)，因为a1＝6，所以a1－2×31＝0，所以an－2×3n＝0，
故数列{an－2×3n}为常数列．
(2)由(1)知，an＝2×3n，所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－＝
达标检测
1．答案：C
解析：由S6－S4＝a6＋a5＝6a4得，(q2＋q－6)a4＝0，q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，从而a5＝a2·23＝2×8＝16，故选C.
2．答案：A
解析：在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
3．答案：－63
解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
法二：n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
∴Sn＝2Sn－1－1，可得Sn－1＝2(Sn－1－1)．又S1－1＝－2.
∴{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴S6－1＝－2×25＝－64，即S6＝－63.
4．答案：8　
解析：设该等比数列的项数为2n，
依题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q·S奇．
∵S偶＝2S奇，∴q＝2.又中间两项为an和an＋1，
则an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝2n－1＋2n＝3×2n－1＝24，
∴2n－1＝8＝23，∴n－1＝3，解得n＝4，∴2n＝8.
5．解：由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.