5.4.3正切函数的性质与图象 教案

第五章 三角函数
5.4.3正切函数的性质与图象
教学设计
一、教学目标
1.理解并掌握正切函数图象的推导思路及画法，即“正弦函数图象类比推导法”.
2.准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平一的要求.
二、教学重难点
1、教学重点
正切函数的图象和性质
2、教学难点
正切函数定义域的理解及正切曲线与直线无限接近的性质
正弦函数在每一个开区间上单调递增，但在定义域上不单调
三、教学过程
1、新课导入
提问1：前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
教师在学生回答后，利用课间演示借助单位圆得到正弦函数和余弦函数图象的形成过程
2、探索新知
思考：（1）根据研究正切函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来研究正切函数.
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正弦函数的图象.
周期性
由诱导公式，且
可知，正切函数是周期函数，周期是π.
奇偶性
由诱导公式，且
可知，正切函数是奇函数.
思考：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
探究：如何画出函数的图象？
如图，设，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点.过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则
（因为）
由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角x的正切值.我们可以利用线段AT画出函数的图象，如下图所示.
观察上图可知，当时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于时，AT的长度趋向于无穷大.相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线.
探究：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
根据正切函数的是奇函数，只要画出的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象；
根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、向右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.
从图中可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
提问：类比画正弦、余弦函数简图的方法（五点法），你能给出画正切函数简图的方法吗？
能. 图象上有三个关键点：.还有两条竖线：直线，直线（注意这是两条虚线）.
因此，画正切函数简图就是先描三点，再画，两条平行线，最后用光滑的曲线画出图象，这种方法称为“三点两线法”.
提问：由正切函数是奇函数，知它的图象关于原点对称.结合图象，你还能发现它的其他对称中心吗？有对称轴吗？
正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点.
没有对称轴.
单调性和最值
观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增.
由正切函数的周期性可得,正切函数在每一个区间上都单调递增.
当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.因此，正切函数的值域是实数集R.
提问：正切函数在其定义域内是增函数这种说法是否正确？
不正确.正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间内是增函数.
归纳：
函数
定义域
值域 R
周期性 周期函数，最小正周期为π
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性 在每一个开区间上都是增函数
对称性 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为
例6 求函数的定义域、周期及单调区间.
解：自变量x的取值应满足，
即.所以，函数的定义域是.
设，又，所以，
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2.
由解得.
因此，函数在区间上单调递增.
解题规律
形如的函数性质的求解方法：
①定义域：把“”作为一个整体，令，可得x的取值范围，即得函数的定义域.
②值域：.
③单调区间：
（a）把“”作为一个整体；
（b）时，函数的单调性与的单调性相同（反）；
（c）解不等式，得出x的取值范围，若，一般先用诱导公式将x的系数化为正值，然后求单调区间.
④奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期
3、课堂练习
1.已知函数的图象经过点，则( )
A. B. C.1 D.-1
【答案】C
【解析】本题考查正切函数图象性质的应用与函数求值.由图象过点，代入解析式得，即，所以，又，所以，所以，故有.
2.函数在一个周期内的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，，故排除C，D；当时，无意义，故排除B.故选A.
3.已知函数,则( )
A.增区间为,
B.增区间为,
C.减区间为,
D.减区间为,
【答案】C
【解析】令，
解得，
故函数的单调递减区间为.
4.若的周期为1,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的周期为,
,即，则.
5.已知在区间上的最大值为，则( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，即，又，所以，
所以，
所以，.故选A.
4、小结作业
小结：正切函数的性质与图象画法.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.4.3正切函数的性质与图象
一、问题引入
二、新课讲解
1.定义域：
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.周期性：周期函数，最小正周期为π
5.单调性：在每一个开区间上都是增函数
6.对称性：对称中心的坐标为
三、例26
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