5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时 教案

第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
教学设计
一、教学目标
1.结合实例，经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能够针对运算问题，合理地运用两角差的余弦公式进行运算，解决实际问题.
3.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的方法.
4.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
5.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
二、教学重难点
1、教学重点
两角差的余弦公式的应用.
两角和的余弦公式、两角和与差的正弦和正切公式的推导过程及运用.
2、教学难点
两角差的余弦公式的推导过程.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：复习单位圆与三角函数的定义.
学生：思考.
（二）探索新知
探究一：两角差的余弦公式的推导
1.单位圆与三角函数的定义.
教师：（1）怎样作出角的终边？
（2）怎样表示出终边与单位圆交点的坐标？
学生：思考.
教师让学生学习圆的旋转对称性，由此得出
2.在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角与弦长相等，由上图，可以得出.
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性.
3.两点间距离公式
平面上任意两点间的距离公式为.
教师指导帮助学生了解两点间的距离公式的有关内容，根据这个公式和上面得到的的结论，把点的坐标代入公式中，可以得到两角差的余弦公式.
4.两角差的余弦公式
.
提问：左面的公式是在的情况下得到的，如果，上述公式还成立吗？
学生：思考讨论.
总结：此公式给出了任意角的正弦，余弦与其差角的余弦值，简记为说明：有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
探究二：两角和的余弦公式的推导
两角和的余弦公式.
教师：如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
教师引导学生用代换中的，便可得到：
教师：使用条件：都是任意角，简记符号：.
记忆口诀：“余余正正，符号相反”.
探究三：两角和与差的正弦公式的推导
两角和与差的正弦公式
如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？
教师：提示学生：在前面我们已经学习了诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们今天的问题又帮助吗？
学生：动手完成两角和与差的正弦公式推导过程，得出：
教师：使用条件：都是任意角，简记符号：.
记忆口诀：“正余余正，符号相同”
探究四：两角和与差的正切公式的推导
两角和与差的正切公式
（1）怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
教师：引导学生借助同角三角函数的基本关系式得出结论
学生：观察两角和与差的正弦、余弦公式并思考得出：
，
分子分母同除以，便可得到：
（2）由两角和的正弦公式如何得到两角差的正切公式？
用替换中的即可得到：.
（3）对于两角和与差的正弦公式，思考讨论：
a.公式是如何推导出来的？有什么限制条件？
b.公式有何特点？
c.公式有何用处？有何变形？
师生共同探讨：
a.必须在定义域范围内使用上述公式，即只要有一个不存在就不能使用这两个公式，只能（也只需）用诱导公式来解.
b.注意公式的结构，尤其是符号.
c.的变形：
的变形：
（三）课堂练习
1.设，，则的值为( )
A.1 B. C. D.0
答案：C
解析：本题考查三角恒等变换公式，求三角函数值.由题意可得，，.
故选C.
2.( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：本题考查两角和正弦公式的应用.原式.故选B.
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：本题考查两角和的正切公式的应用.且，，所以，，又，.
故选A.
4.的值为( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：由余弦的差角公式得，故选B.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1. 两角差的余弦公式的推导.
2. 两角和的余弦公式的推导.
3. 两角和与差的正弦公式的推导.
4. 两角和与差的正切公式的推导.
四、板书设计
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
1. 两角差的余弦公式的推导.
2. 两角和的余弦公式的推导.
3. 两角和与差的正弦公式的推导.
4. 两角和与差的正切公式的推导.
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