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整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法：利用平方差公式进行因式分解
用完全平方公式分解因式
完全平方公式：a2－2ab＋b2=(a＋b)2
a 2＋2ab＋b2=(a－b)2
即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
二、完全平方式
完全平方式：a22ab＋b2
特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍。
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
三、分解因式的“四个注意事项”
（1）首项有负常提负：若多项式第一项系数为负，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的；例：－ax2＋2ax－a=－a(x2－2x＋1)=－a(x－1)2
（2）各项有公先提公：因式分解一般先考虑提公因式法，再考虑公式法；
（3）某项提出莫漏1：多项式的某个整项是公因式时，提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；例：x3＋x2＋x=x(x2＋x＋1)
（4）括号里面分到“底”：分解因式，一定要分解到不能再分解为止，即分解到底。
例：6x(a－b)＋4y(b－a)=6x(a－b)－4y(a－b)=(a－b)(6x－4y)到这里还需要继续分解因式，
因为(6x－4y)这个式子还有公因式2，
∴正确的步骤为：原式=6x(a－b)－4y(a－b)=(a－b)(6x－4y)=2(a－b)(3x－2y)。
[命题角度1] 直接运用完全平方公式分解因式
【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式
【例1】 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
(1)a2＋ab＋b2； (2)a2－a＋； (3)9a2－24ab＋4b2； (4)－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2。所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
【类型二】 运用完全平方公式分解因式
【例2】 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
[命题角度2] 完全平方公式分解因式的应用
【类型一】 利用完全平方公式求值
【例3】已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.
方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
【类型二】 运用完全平方公式进行简便运算
【例4】 利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
【类型三】 利用完全平方公式整体代入求值
【例5】已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.
方法总结：此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．
【类型四】 因式分解在三角形中的应用
【例6】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（ B ）
(1)a2＋ab＋b2； (2)a2－a＋； (3)9a2－24ab＋4b2； (4)－a2＋8a－16·
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.多项式a2－2ab＋b2－1分解因式的结果是 (a－b＋1)(a－b－1) 。
3.若关于x的二次三项式x2＋ax＋是完全平方式，则a的值是 1 。
4.分解因式：
(1)3a2b－48ab3； (2)x4－8x2＋16 (3)－4x3y－8x2y－4xy (4)25x2(a－b)＋36y2(b－a)
解：(1)原式=3ab(a2－16b2)=3ab(a＋4b)(a－4b)；
(2)原式=(x2－4)2=[(x＋2)(x－2)]2=(x＋2)2(x－2)2；
(3)原式=－4xy(x2＋2x＋1)=－4xy(x＋1)2；
(4)原式=(a－b)(25x2－36y2)=(a－b)(5x＋6y)(5x－6y)
5.已知ab=2，a＋b=5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值
解：原式=ab(a2＋2ab＋b2)=ab(a＋b)2.
当ab=2，a＋b=5时，原式=2×52=50.
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92 ； (2)20142－2014×4026＋20132 ；
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2=(－10)2=100
(2)原式=(2014)2－2×2014×2013＋(2013)2=(2014－2013)2=1
7.阅读下列材料：
例题：若x2＋y2－2x＋6y＋10=0，求x和y的值。
解：因为x2＋y2－2x＋6y＋10=0，所以x2－2x＋1＋y2＋6y＋9=0，即(x－1)2＋(y＋3)2=0。
所以x－1=0，y＋3=0。
所以x=1，y=－3，
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy－2y＋1=0，求2x－3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2=6a＋4ab－9，求该三角形的周长。
解：（1）因为x2＋5y2＋4xy－2y＋1=(x＋2y)2＋(y－1)2=0，
所以x＋2y=0，y－1=0。所以x=－2，y=1。
当x=－2，y=1时，2x－3y=2×(－2)－3×1=－7。
（2）∵5a2＋b2=6a＋4ab－9，∴(2a－b)2＋(a－3)2=0，
∴2a－b=0，a－3=0。∴a=3，b=6。
∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况讨论：
①当a为腰长，b为底边长时，3＋3=6，不能构成三角形故这种情况不成立。
②当b为腰长，a为底边长时，3＋6>6，能构成三角形，
此时三角形的周长为6＋6＋3=15。
综上所述，该三角形的周长为15。
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
课后反思
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整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法：利用平方差公式进行因式分解
用完全平方公式分解因式
完全平方公式：a2－2ab＋b2=(a＋b)2
a 2＋2ab＋b2=(a－b)2
即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
二、完全平方式
完全平方式：a22ab＋b2
特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍。
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
三、分解因式的“四个注意事项”
（1）首项有负常提负：若多项式第一项系数为负，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的；例：－ax2＋2ax－a=－a(x2－2x＋1)=－a(x－1)2
（2）各项有公先提公：因式分解一般先考虑提公因式法，再考虑公式法；
（3）某项提出莫漏1：多项式的某个整项是公因式时，提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；例：x3＋x2＋x=x(x2＋x＋1)
（4）括号里面分到“底”：分解因式，一定要分解到不能再分解为止，即分解到底。
例：6x(a－b)＋4y(b－a)=6x(a－b)－4y(a－b)=(a－b)(6x－4y)到这里还需要继续分解因式，
因为(6x－4y)这个式子还有公因式2，
∴正确的步骤为：原式=6x(a－b)－4y(a－b)=(a－b)(6x－4y)=2(a－b)(3x－2y)。
[命题角度1] 直接运用完全平方公式分解因式
【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式
【例1】 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
(1)a2＋ab＋b2； (2)a2－a＋； (3)9a2－24ab＋4b2； (4)－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【类型二】 运用完全平方公式分解因式
【例2】 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
[命题角度2] 完全平方公式分解因式的应用
【类型一】 利用完全平方公式求值
【例3】已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
【类型二】 运用完全平方公式进行简便运算
【例4】 利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
【类型三】 利用完全平方公式整体代入求值
【例5】已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
【类型四】 因式分解在三角形中的应用
【例6】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（ ）
(1)a2＋ab＋b2； (2)a2－a＋； (3)9a2－24ab＋4b2； (4)－a2＋8a－16·
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.多项式a2－2ab＋b2－1分解因式的结果是 。
3.若关于x的二次三项式x2＋ax＋是完全平方式，则a的值是 。
4.分解因式：
(1)3a2b－48ab3； (2)x4－8x2＋16 (3)－4x3y－8x2y－4xy (4)25x2(a－b)＋36y2(b－a)
5.已知ab=2，a＋b=5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92 ； (2)20142－2014×4026＋20132 ；
7.阅读下列材料：
例题：若x2＋y2－2x＋6y＋10=0，求x和y的值。
解：因为x2＋y2－2x＋6y＋10=0，所以x2－2x＋1＋y2＋6y＋9=0，即(x－1)2＋(y＋3)2=0。
所以x－1=0，y＋3=0。所以x=1，y=－3，
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy－2y＋1=0，求2x－3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2=6a＋4ab－9，求该三角形的周长。
1、2、3、
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