人教A版（2019）数学选择性必修一册 1_4_1用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 1_4_1用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 176.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:48:25 | ||
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文档简介
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
一、常考题型
1．若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是( )
A．0 B．1 C．－2 D．2
2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
4．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则( )
A．l∥β B．l⊥β
C．l β D．l与β斜交
5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
6.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是( )
A．(1,1，) B．(1，，1)
C．(1,1,1) D．(2，－2,1)
7．在平面内，直线经过点M(2,1)，若n＝(－，1)为其方向向量，则该直线的方程为________．
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
二、易错专项
9．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列各点中，在平面α内的是________．(把正确的序号都填上)
①(1，－1,1)； ②(1,3，)；
③(1，－3, )； ④(－1,3，－)．
10. 如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.
三、难题突破
11. 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
参考答案
1．答案：C
解析：λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)
＝(3＋2λ，－4－λ，7)．
∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
2．答案：A
解析：∵|a|＝＝6，∴x＝±4，
又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，
当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
3．答案：①②③
解析：两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．
4．答案：B
解析：∵b＝－2a，∴a∥b，∴l⊥β.
5．答案：D
解析：由题意知PA⊥平面ABCD，
所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A，B正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，
故PC⊥BD，C正确．
6.答案：A
解析：＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则解得∴n＝(2,2,1)．
又(1,1，)＝n，∴A正确．
7．答案：2x＋y－5＝0
解析：设直线上任意一点为P(x，y)，
则＝(x－2，y－1)．
∴＝λn，则
∴x－2＝－(y－1)，即2x＋y－5＝0.
8.证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)．
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.
∴⊥，⊥.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，
∴PC⊥平面BEF.
9．答案：②
解析：设①为点B，则＝(－1,0，－1)，·n＝－3－2≠0，∴B不在α内，同理可验证②在α内，③④不在α内．
10. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则即解得
即解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA.
11.证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，
A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因为n⊥，n⊥，
故
令x＝1，则y＝2，z＝－，
故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，
而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n，
故AB1⊥平面A1BD.
一、常考题型
1．若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是( )
A．0 B．1 C．－2 D．2
2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
4．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则( )
A．l∥β B．l⊥β
C．l β D．l与β斜交
5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
6.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是( )
A．(1,1，) B．(1，，1)
C．(1,1,1) D．(2，－2,1)
7．在平面内，直线经过点M(2,1)，若n＝(－，1)为其方向向量，则该直线的方程为________．
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
二、易错专项
9．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列各点中，在平面α内的是________．(把正确的序号都填上)
①(1，－1,1)； ②(1,3，)；
③(1，－3, )； ④(－1,3，－)．
10. 如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.
三、难题突破
11. 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
参考答案
1．答案：C
解析：λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)
＝(3＋2λ，－4－λ，7)．
∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
2．答案：A
解析：∵|a|＝＝6，∴x＝±4，
又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，
当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
3．答案：①②③
解析：两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．
4．答案：B
解析：∵b＝－2a，∴a∥b，∴l⊥β.
5．答案：D
解析：由题意知PA⊥平面ABCD，
所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A，B正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，
故PC⊥BD，C正确．
6.答案：A
解析：＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则解得∴n＝(2,2,1)．
又(1,1，)＝n，∴A正确．
7．答案：2x＋y－5＝0
解析：设直线上任意一点为P(x，y)，
则＝(x－2，y－1)．
∴＝λn，则
∴x－2＝－(y－1)，即2x＋y－5＝0.
8.证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)．
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.
∴⊥，⊥.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，
∴PC⊥平面BEF.
9．答案：②
解析：设①为点B，则＝(－1,0，－1)，·n＝－3－2≠0，∴B不在α内，同理可验证②在α内，③④不在α内．
10. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则即解得
即解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA.
11.证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，
A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因为n⊥，n⊥，
故
令x＝1，则y＝2，z＝－，
故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，
而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n，
故AB1⊥平面A1BD.