人教A版（2019）数学选择性必修一册 1_4_2用空间向量研究距离、夹角问题（2）课时精练（含答案）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)
一、常考题型
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．以上均错
2．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　)
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)
A．0 B.
C．－ D.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于(　　)
A. B. C. D.
5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
7．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
8．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角ACDE的余弦值．
二、易错专项
9． 已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________．
10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．
三、难题突破
11. 如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.
(1)证明：BD⊥AE；
(2)求平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值．
参考答案
1．答案：B
解析：直线l与平面α所成的角范围是[0°，90°]．
2．答案：D
解析：α＝θ或α＝π－θ，且α∈[0，],
因而cos α＝|cos θ|.
3．答案：A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)．
所以＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)，所以cos〈，〉＝＝0.
4．答案：B
解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系．
设棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，，0)，
∴＝(1,1,1)，＝(1，－，0)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴sin〈，〉＝＝.
5．答案：A
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设AB＝a，则AA1＝2a，
所以D(0,0,2a)，C1(0，a,0)，B(a，a,2a)，C(0，a,2a)．
设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴
∴∴n＝(1，－1，－)，
∴·n＝(0，－a,0)·(1，－1，－)＝a，
∴cos〈，n〉＝＝，
设CD与平面BDC1所成角为α，
∴sin α＝.
6．答案：C
解析：设正四棱锥的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E(，，)，
∴＝(－，，)，＝(－1，－1，－)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴AE、SD所成角的余弦值为.
7．答案：
解析：＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·＝0，n·＝0得，
令x＝2，则y＝1，z＝.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(2,1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．
由此易求出所求二面角的余弦值为.
8．(1)解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M(，1，)．
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明：由＝(，1，)，＝(－1,0,1)，
＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，AM 平面AMD，AD 平面AMD，
故CE⊥平面AMD.
又CE 平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解：设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则
于是令x＝1，可得u＝(1,1,1)．
又由题设知，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为.
9．答案：
解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则A(0,0，)，B(0，－，0)，D(，0,0)．
所以＝(0,0，)，＝(0，，)，＝(，，0)．
由于＝(0,0，)为平面BCD的一个法向量．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，
所以sin〈n，〉＝.
10．答案：60°
解析：由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2.
∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°.
11. (1)证明：因为BC⊥CD，BC＝CD＝2，所以BD＝2.
又因为EA⊥ED，EA＝ED＝2，
所以AD＝2.
又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD.
又因为平面EAD⊥平面ABCD，
平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面AED.
又因为AE 平面ADE，
所以BD⊥AE.
(2)解：如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD.
因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，
所以OE⊥平面ABCD.
取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD.
因为BD⊥AD，所以OF⊥AD.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则D(－，0,0)，C(－2，，0)，E(0,0，)，＝(－，，0)，＝(，0，)．
设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，可得平面CDE的一个法向量n1＝(1,1，－1)．
又平面ADE的一个法向量为n2＝(0,1,0)．
因此|cos〈n1，n2〉|＝＝.
所以平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值为.