人教A版（2019）数学选择性必修一册 2_3直线的交点坐标与距离公式（2）课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 2_3直线的交点坐标与距离公式（2）课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:48:33 | ||
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文档简介
2.3直线的交点坐标与距离公式(2)
一、常考题型
1．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B. C. D.
3．经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是l1上某一点，则点P到l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.
5．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．
6．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并与原点的最短距离为的直线的方程为___________________________________________________________．
7．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
二、易错专项
9．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③4x－3y＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
三、难题突破
11. 若a，b为正数，a＋b＝1，求证：≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
参考答案
1．答案：B
解析：设所求点为(x，y)，则根据题意有
2．答案：D
解析：∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0平行，
∴m＝4.
∴两平行线间的距离：
d＝＝＝.
3．答案：C
解析：由可解得故直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，则有＝1，即9－6k＝1，解得k＝，
所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．
综上，满足条件的直线有2条．
4．答案：C
解析：由题意知l1∥l3，故点P到l3的距离即为平行线l1，l3之间的距离，l1：2x－y－3＝0，求得l3：2x－y＋3＝0，所以d＝＝.
5．答案：x＝1或x－y－1＝0
解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝.
∴|1－3k|＝|3k－5|，
∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0
6．答案：x＝或x－y＋1＝0
解析：易求得两直线交点的坐标为，显然直线x＝满足条件．
设过该点的直线方程为y－＝k，
化为一般式得2kx－2y＋－k＝0，
所以＝，解得k＝，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.
7．答案：(－1,0)或
解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.
8．解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
9．答案：②③
解析：①直线为y＝x＋1，点M到该直线的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．
②直线为y＝2，点M到该直线的距离d＝|0－2|＝2<4，所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．
③直线为4x－3y＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝4，于是点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．
10．解析：
(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
＝，n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
11.证明：
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以点(a，b)在直线x＋y＝1上，且落在第一象限内，
(a＋2)2＋(b＋2)2则表示点(a，b)与点Q(－2，－2)的距离的平方．
点(－2，－2)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥2＝.
设直线x＋y－1＝0与两坐标轴分别交于A、B两点，
则A(1,0)，B(0,1)，
所以|QA|＝ ＝，
|QB|＝ ＝，
所以△QAB是以AB为底边的等腰三角形．
由于Q点与x＋y－1＝0(x＞0，y＞0)上任一点的距离小于|QA|，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2＜|QA|2＝13.
综上可知，≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
一、常考题型
1．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B. C. D.
3．经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是l1上某一点，则点P到l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.
5．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．
6．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并与原点的最短距离为的直线的方程为___________________________________________________________．
7．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
二、易错专项
9．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③4x－3y＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
三、难题突破
11. 若a，b为正数，a＋b＝1，求证：≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
参考答案
1．答案：B
解析：设所求点为(x，y)，则根据题意有
2．答案：D
解析：∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0平行，
∴m＝4.
∴两平行线间的距离：
d＝＝＝.
3．答案：C
解析：由可解得故直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，则有＝1，即9－6k＝1，解得k＝，
所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．
综上，满足条件的直线有2条．
4．答案：C
解析：由题意知l1∥l3，故点P到l3的距离即为平行线l1，l3之间的距离，l1：2x－y－3＝0，求得l3：2x－y＋3＝0，所以d＝＝.
5．答案：x＝1或x－y－1＝0
解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝.
∴|1－3k|＝|3k－5|，
∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0
6．答案：x＝或x－y＋1＝0
解析：易求得两直线交点的坐标为，显然直线x＝满足条件．
设过该点的直线方程为y－＝k，
化为一般式得2kx－2y＋－k＝0，
所以＝，解得k＝，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.
7．答案：(－1,0)或
解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.
8．解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
9．答案：②③
解析：①直线为y＝x＋1，点M到该直线的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．
②直线为y＝2，点M到该直线的距离d＝|0－2|＝2<4，所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．
③直线为4x－3y＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝4，于是点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．
10．解析：
(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
＝，n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
11.证明：
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以点(a，b)在直线x＋y＝1上，且落在第一象限内，
(a＋2)2＋(b＋2)2则表示点(a，b)与点Q(－2，－2)的距离的平方．
点(－2，－2)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥2＝.
设直线x＋y－1＝0与两坐标轴分别交于A、B两点，
则A(1,0)，B(0,1)，
所以|QA|＝ ＝，
|QB|＝ ＝，
所以△QAB是以AB为底边的等腰三角形．
由于Q点与x＋y－1＝0(x＞0，y＞0)上任一点的距离小于|QA|，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2＜|QA|2＝13.
综上可知，≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.