人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_1_2椭圆的简单几何性质课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_1_2椭圆的简单几何性质课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 42.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:49:15 | ||
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文档简介
3.1.2椭圆的简单几何性质
一、常考题型
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B．
C. D.
5．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
6．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D.
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
二、易错专项
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B．
C. D.
10．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
三、难题突破
11．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
参考答案
1．D
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
2．A
解析：依题意，得a＝2，a＋c＝3，
故c＝1，b＝＝，
故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
3．A
解析：依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
4．D
解析：∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
5．答案：
解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，
∴＝2，∴m＝.
6．答案：(0,1)或(0，－1)
解析：设A(m，n)．
由＝5 ，得B.
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
7．D
解析：依题意得＝，∴c＝2b，
∴a＝＝b，∴e＝＝＝.
8．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，
圆的方程是2＋y2＝2.
∴y2＝ax－x2. ①
又P点在椭圆上，故＋＝1. ②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>.
又∵09．A
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，
所以C的离心率e＝ ＝.
10．C
解析：由题意得点F(－1,0)．
设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.
此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.
又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.
11．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
一、常考题型
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B．
C. D.
5．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
6．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D.
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
二、易错专项
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B．
C. D.
10．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
三、难题突破
11．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
参考答案
1．D
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
2．A
解析：依题意，得a＝2，a＋c＝3，
故c＝1，b＝＝，
故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
3．A
解析：依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
4．D
解析：∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
5．答案：
解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，
∴＝2，∴m＝.
6．答案：(0,1)或(0，－1)
解析：设A(m，n)．
由＝5 ，得B.
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
7．D
解析：依题意得＝，∴c＝2b，
∴a＝＝b，∴e＝＝＝.
8．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，
圆的方程是2＋y2＝2.
∴y2＝ax－x2. ①
又P点在椭圆上，故＋＝1. ②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0
又∵0
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，
所以C的离心率e＝ ＝.
10．C
解析：由题意得点F(－1,0)．
设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.
此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.
又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.
11．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.