人教A版(2019)数学选择性必修一册 3_1_2椭圆的简单几何性质课时精练(含答案)

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名称 人教A版(2019)数学选择性必修一册 3_1_2椭圆的简单几何性质课时精练(含答案)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-03 21:49:15

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文档简介

3.1.2椭圆的简单几何性质
一、常考题型
1.已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则(  )
A.C1与C2顶点相同    B.C1与C2长轴长相同
C.C1与C2短轴长相同 D.C1与C2焦距相等
2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(  )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(  )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是(  )
A. B.
C. D.
5.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为________.
6.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.
7.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为(  )
A. B.
C. D.
8.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.
二、易错专项
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )
A. B.
C. D.
10.若O和F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  )
A.2 B.3
C.6 D.8
三、难题突破
11.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F1的直线交椭圆 E于 A,B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为16,求|AF2|;
(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.
参考答案
1.D
解析:由两个椭圆的标准方程可知:C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),长轴长为4,短轴长为4,焦距为4;C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),长轴长为8,短轴长为4,焦距为4.故选D.
2.A
解析:依题意,得a=2,a+c=3,
故c=1,b==,
故所求椭圆的标准方程是+=1.
3.A
解析:依题意,△BF1F2是正三角形,
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
∴cos 60°==,即椭圆的离心率e=,故选A.
4.D
解析:∵=2,∴||=2||.
又∵PO∥BF,∴==,
即=,∴e==.
5.答案:
解析:∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,
∴=2,∴m=.
6.答案:(0,1)或(0,-1)
解析:设A(m,n).
由=5 ,得B.
又A,B均在椭圆上,所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0,-1).
7.D
解析:依题意得=,∴c=2b,
∴a==b,∴e===.
8.解:设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,
圆的方程是2+y2=2.
∴y2=ax-x2. ①
又P点在椭圆上,故+=1. ②
把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,
即(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,∵x≠a,x≠0,
∴x=,又0∴0<由b2=a2-c2,得a2<2c2,∴e>.
又∵09.A
解析:以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,
由原点到直线bx-ay+2ab=0的距离d==a,得a2=3b2,
所以C的离心率e= =.
10.C
解析:由题意得点F(-1,0).
设点P(x0,y0),则有+=1,可得y=3.
∵=(x0+1,y0),=(x0,y0),
∴·=x0(x0+1)+y=x0(x0+1)+3=+x0+3.
此二次函数的图象的对称轴为直线x0=-2.
又-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值,最大值为+2+3=6.
11.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16,
所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得,|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在△ABF2中,由余弦定理可得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k).
化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.