人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_1_2椭圆方程及性质的应用课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_1_2椭圆方程及性质的应用课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:49:21 | ||
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文档简介
3.1.2椭圆方程及性质的应用
一、常考题型
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )
A. B．
C. D.
3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
6．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且 · ＝0，则||的最小值是________．
二、易错专项
9．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
10．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
三、难题突破
11．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
参考答案
1．B
解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，
故直线恒过定点(1,1)，
而该点在椭圆＋＝1内部，
所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
2．A
解析：最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．
将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.
3．C
解析：由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，
当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
4．B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵点A，B在椭圆上，
∴＋x＝1， ①
＋x＝1. ②
①－②，得＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0. ③
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
5．A
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
6．答案：
解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，
则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
由得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·
＝ ＝.
7．答案：
解析：∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M在椭圆内部，∴c∴c2又e>0，∴08．答案：
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵·＝0，
∴⊥.∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
9．C
解析：设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，∴kmin＝－.选C.
10．答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
分别代入椭圆方程相减得＋＝0，
根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，
所以＋×＝0，得a2＝2b2，
所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，
所以＝，即e＝.
11．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，b2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
一、常考题型
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )
A. B．
C. D.
3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
6．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且 · ＝0，则||的最小值是________．
二、易错专项
9．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
10．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
三、难题突破
11．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
参考答案
1．B
解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，
故直线恒过定点(1,1)，
而该点在椭圆＋＝1内部，
所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
2．A
解析：最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．
将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.
3．C
解析：由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，
当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
4．B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵点A，B在椭圆上，
∴＋x＝1， ①
＋x＝1. ②
①－②，得＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0. ③
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
5．A
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
6．答案：
解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，
则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
由得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·
＝ ＝.
7．答案：
解析：∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M在椭圆内部，∴c
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵·＝0，
∴⊥.∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
9．C
解析：设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，∴kmin＝－.选C.
10．答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
分别代入椭圆方程相减得＋＝0，
根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，
所以＋×＝0，得a2＝2b2，
所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，
所以＝，即e＝.
11．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，b2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.