人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_2_2双曲线方程及性质的应用课时精练（含答案）

3.2.2双曲线方程及性质的应用
一、常考题型
1．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D．3
3．设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B，C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是________．
6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
7．双曲线－＝1，A(8,4)，过A作直线l交双曲线于P，Q，A恰为PQ的中点，求直线l的方程．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
二、易错专项
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
10．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
三、难题突破
11.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
参考答案
1．答案：A
解析：设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.
2．答案：B
解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，
将x＝－c代入－＝1，可得y2＝，
所以|AB|＝2×＝2×2a.
∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，
∴e＝＝.
3．答案：A
解析：关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ( tan θ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtan θ，双曲线－＝1的渐近线为y＝±xtan θ，所以直线y＝－xtan θ与双曲线没有公共点．故选A.
4．答案：A
解析：因为|A1B1|＝|A2B2|，所以根据对称性可知，直线A1B1，A2B2关于x轴对称，因为直线A1B1，A2B2所成的角为60°，所以直线A1B1的倾斜角为30°或60°，即斜率为tan 30°＝或tan 60°＝，要使直线A1B1与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率＜＜，当＜时，3b2＞a2，所以3(c2－a2)＞a2,3c2＞4a2，即e2＞，所以e＞＝.当＜时，有b＜a，即b2＜3a2，所以c2－a2＜3a2，即c2＜4a2，即c＜2a，e＜2.综上知＜e＜2，即双曲线离心率的取值范围为，选A.
5．答案：
解析：双曲线渐近线方程为y＝±bx，直线方程为y＝x＋1，两式联立消去y，得xC＝，xB＝－.由|AB|＝|BC|，知2xB＝xA＋xC，代入坐标，解得b＝3或b＝0(舍去)，
∴c2＝b2＋a2＝10.∴e＝＝.
6．答案：
解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根，
则
解得－＜k＜－1.
7．解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝8.
由得
＝.
∴k＝＝，
∴由点斜式，得y－4＝(x－8)，即9x－8y－40＝0，
把x＝8代入－＝1，得y2＝27＞42，
∴点(8,4)在双曲线的内部，即以(8,4)为中点的直线是存在的，故直线l的方程为9x－8y－40＝0.
8．解：(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.
所以所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，
所以线段MN垂直平分线的方程为
y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ>0，
故直线l的方程为y＝x±.
9．答案：[2，＋∞)
解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
10．解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝.
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
由(1)，可知－故k＝0或k＝±都符合题意．
11.解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x＝±.
由题设知，2＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，
C的方程为8x2－y2＝8.　①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，
代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，
即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1.
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．