人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_3_2抛物线的简单几何性质课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3_3_2抛物线的简单几何性质课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 38.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:49:37 | ||
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文档简介
3.3.2抛物线的简单几何性质
一、常考题型
1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．5p B．10p
C．11p D．12p
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
4．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B．
C. D.
6．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
7．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
二、易错专项
9．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B．
C. D．2
10．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
三、难题突破
11. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
参考答案
1．C
解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，
所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．B
解析：将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.
∵直线过抛物线的焦点，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.
3．B
解析：设A(x，y)，则y2＝4x， ①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4. ②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
4．B
解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
5．D
解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，
故直线AB的方程为y＝，
代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，
结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，
所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
6．答案：
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
7．答案：
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.
又|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.
8．解：
(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，
可得16＝4p，解得p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x，
其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，
设直线l的方程为y＝kx＋2.
由得ky2－8y＋16＝0.
由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
9．D
解析：由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，
则直线AB的方程为y＝k(x－2)，
将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①
由
∵·＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④解得k＝2.故选D项．
10．解：
(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，
由题意知|PM|－|PN|＝，
∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
11. 解：
(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝·＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝ ·＝.
由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋2＋2＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
一、常考题型
1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．5p B．10p
C．11p D．12p
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
4．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B．
C. D.
6．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
7．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
二、易错专项
9．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B．
C. D．2
10．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
三、难题突破
11. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
参考答案
1．C
解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，
所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．B
解析：将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.
∵直线过抛物线的焦点，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.
3．B
解析：设A(x，y)，则y2＝4x， ①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4. ②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
4．B
解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
5．D
解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，
故直线AB的方程为y＝，
代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，
结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，
所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
6．答案：
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
7．答案：
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.
又|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.
8．解：
(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，
可得16＝4p，解得p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x，
其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，
设直线l的方程为y＝kx＋2.
由得ky2－8y＋16＝0.
由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
9．D
解析：由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，
则直线AB的方程为y＝k(x－2)，
将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①
由
∵·＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④解得k＝2.故选D项．
10．解：
(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，
由题意知|PM|－|PN|＝，
∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
11. 解：
(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝·＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝ ·＝.
由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋2＋2＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.