人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_1数列的概念(2)课时精练（含答案）

4.1数列的概念(2)
一、常考题型
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6
3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2020＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________.
5．已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2020的值是________．
6．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.
8．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
二、易错专项
9．已知函数f (x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 020＋a2 021＝
D．a2 020＋a2 021＝
10．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
三、难题突破
11．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
参考答案
1．D
解析：由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.
2．B
解析：由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.故选B.
3．D
解析：a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an.∴a2 020＝a6×336＋4＝a4＝－3.所以D选项是正确的．
4．
解析：根据递推公式，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1，
由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，∴an＝
5．
解析：数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，
可得a2＝－3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2 020＝a673×3＋1＝a1＝.
6．
解析：法一：由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以累加得a10－a1＝1－，a10＝.
法二：由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝.]
7．解：将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，
则＝＋，即－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，得－＝.
∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．
8．解：假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
9．BC
解析：a2＝f ＝－1＝；
a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＋＝；
a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 020＋a2 021＝a4＋a5＝.∴C正确，D错误．故选BC.
10．640
解析：由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．
11．解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f (x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.
即a的取值范围是(－10，－8)．