人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_2_1等差数列(2)课时精练（含答案）

4.2.1　等差数列 (2)
一、常考题型
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 　B．16
C．20 D．24
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
3．下列说法中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5 B．8
C．10 D．14
5．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
6．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
7．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
8．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．
二、易错专项
9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B.升
C.升 D.升
10．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
三、难题突破
11．下表是一个“等差数阵”：
4 7 (　) (　) (　) … a1j …
7 12 (　) (　) (　) … a2j …
(　) (　) (　) (　) (　) … a3j …
(　) (　) (　) (　) (　) … a4j …
… … … … … … … …
ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij …
… … … … … … … …
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式，以及2017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．
参考答案
1．B
解析：因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
2．A
解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
3．C
解析：因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
4．B
解析：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
5．答案：－21
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.
6．答案：1或2
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7．解：法一：由等差数列的性质得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
8．解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．
9．B
解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则有即
解得则a5＝a1＋4d＝，
故第5节的容积为升．
10．解：∵b1＋b2＋b3＝＝，b1b2b3＝＝，
∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
11．解：通过每行、每列都是等差数列求解．
(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．
先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，
公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.
再看第2行，同理可得a25＝27.
最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，
所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.
(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；
第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；
…
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2 017，
∴j＝.又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝672.
∴2017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．