人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_3_1等比数列的概念 (2)课时精练（含答案）

4.3.1等比数列的概念 (2)
一、常考题型
1．等比数列x, 3x＋3, 6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　　　　　　　　 　B．0
C．12 D．24
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
3．在正项等比数列{an}中，an＋1A. B.
C. D.
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)
A. B．3
C．± D．±3
5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
6．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
8．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
二、易错专项
9．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　　 　B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
10．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
三、难题突破
11．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%
参考答案
1．A
解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．D
解析：设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
即＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
3．D
解析：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
4．B
解析：设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
5．答案：3或27
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
6．答案：18
解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
7．答案：2048
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2048.
8．解：∵a1a5＝，a3a7＝，
∴由题意，得－2a3a5＋＝36，
同理得＋2a3a5＋＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝2n－2或an＝26－n.
9．B
解析：由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，
又a1·a5＝a2·a4＝，所以＝1，得a3＝1.
10．答案：－1
解析：由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.
又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，
所以＝＝－1.
11．解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…
＝(a0－b0)·n－1.
∵a0－b0＝，∴an－bn＝·n.
依题意知·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.