人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_3_2等比数列的前n项和公式(2)课时精练（含答案）

4.3.2等比数列的前n项和公式(2)
一、常考题型
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7 B．8 C．15 D．16
2．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
3．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1025 B．1024
C．10250 D．20240
4．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　)
A．30 B．20
C．10 D．5或40
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
7．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.
8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
二、易错专项
9．(多选)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
10．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
三、难题突破
11．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
参考答案
1． C
解析：由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，
∴q＝2，∴S4＝＝15.
2．A
解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，
因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
解得S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.
3．C
解析：∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，
故选C.
4．A
解析：设等差数列的公差为d，
因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，
即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，
解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，
所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.
5．－1
解析：由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.
6．2
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.
7．2n－1
解析：设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，则
S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，
因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得
5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.
8．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2 101.
9．ABC
解析：∵q≠1，∴＝＝1＋qm.而＝＝qm，∴A正确；
B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正确；
C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8.又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；
D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC.
10．　2
解析：设数列{an}共有2m＋1项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)
＝2＋q＝，
∴q＝.
∴Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2，
故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.
11．解：(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.
n≥3时，
Tn＝3＋－
＝.
∴Tn＝