人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_1_2导数的概念及其几何意义课时精练（含答案）

5.1.2导数的概念及其几何意义
一、常考题型
1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线(　　)
A．不存在　　　　 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
2．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f ′(x0)＝(　　)
A．2　　 B．1　　　　C．　　　　D．0
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)
5．如图，函数y＝f (x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f (2)＋f ′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
7．(一题两空)已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
8．在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
二、易错专项
9．已知函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．010．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________．
三、难题突破
11．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
参考答案
1．B
解析：由导数的几何意义可知选项B正确．
2．C
解析：∵ ＝1∴ ＝，
即f (x0)＝ ＝.故选C.
3．B
解析：由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
4．C
解析：因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.
5．D
解析：直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－4＝0.
又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1，
∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.
6．2
解析：∵f ′(1)＝2，
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.
∴＝2.
7．2　－3
解析：＝
＝＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝ ＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.
所以m＝2.
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3.
8．解：设y＝f (x)，则f ′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2，4)．
(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
9．B
解析：由函数的图象可知函数f (x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f ′(2)>f ′(3)．记A(2，f (2))，B(3，f (3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f (3)－f (2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f ′(2)>f (3)－f (2)>f ′(3)>0.故选B.
10．2
解析：由导数的定义，得f ′(0)
＝
＝
＝ (a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f (x)≥0，
则所以ac≥，
所以c＞0，
所以＝≥≥＝2.
11．解：∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f ′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－.
由题意知f ′(x)的最小值是－12，
∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.