人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_2导数的运算(2)课时精练（含答案）

5.2导数的运算(2)
一、常考题型
1．若f (x)＝exln 2x，则f ′(x)＝(　　)
A．exln 2x＋　　　 B．exln 2x－
C．exln 2x＋ D．2ex·
2．已知函数f (x)＝2ln(3x)＋8x，则 的值为(　　)
A．10 B．－10
C．－20 D．20
3．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝xln x＋1则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为(　　)
A．y＝－x B．y＝－x＋2
C．y＝x D．y＝x－2
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1　　 B．2　　　　C．－1　　　　D．－2
5．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
6．已知P为指数函数f (x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
7．设函数f (x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′＝，则φ＝________；若f (x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
8．求下列函数的导数：
(1)y＝a2x－3； (2)y＝x2cos；
(3)y＝e－xln x； (4)y＝.
二、易错专项
9．(多选题)下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
10．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
三、难题突破
11．设函数f (x)＝aexln x＋.
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
参考答案
1．C
解析：f ′(x)＝exln 2x＋ex×＝exln 2x＋.
2．C
解析：∵f (x)＝2ln(3x)＋8x，∴f ′(x)＝＋8＝8＋.
根据导数定义知 ＝－2 ＝－2f ′(1)＝－20.
故应选C.
3．A
解析：因为x＜0，f (x)＝f (－x)＝－xln(－x)＋1，f (－1)＝1，
f ′(x)＝－ln(－x)－1，f ′(－1)＝－1，
所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.
4．B
解析：设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
5．(e，e)
解析：设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．
6．
解析：设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，
由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝e＝1，x0＝0，f (0)＝1，即P(0，1)．
P到直线y＝x－1的距离是d＝＝.
7．或　
解析：f ′(x)＝－sin(x＋φ)．
由条件知，f ′＝－sin(π＋φ)＝sin φ＝，
∴sin φ＝，∵0＜φ＜π，∴φ＝或.
又f (x)＋f ′(x)
＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f (x)＋f ′(x)为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin，
∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
8．解：(1)因为y＝a2x－3，
所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a.
(2)因为y＝x2cos，
所以y′＝2xcos＋x2′
＝2xcos－x2sin′
＝2xcos－2x2sin.
(3)因为y＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝.
(4)因为y＝＝(1－2x)，
所以y′＝－(1－2x)×(－2)＝.
9．ACD
解析：对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；
对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．故选ACD.
10．
解析：由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，
∵1－x－＝1－≤1－2＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．
∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
∴tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，
∴θ∈.]
11．解：(1)由f (x)＝aexln x＋，
得f ′(x)＝(aexln x)′＋＝aexln x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，
∴b＝2.
将x＝1代入导函数f ′(x)中，
得f ′(1)＝ae＝e，
∴a＝1.