人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_3_2函数的极值与最大(小)值(1)课时精练（含答案）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）
一、常考题型
1．设函数f (x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f (x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)
A．－x0是－f (－x)的极小值点
B．对任意x∈R，f (x)≤f (x0)
C．－x0是f (－x)的极小值点
D．x0是－f (x)的极大值点
2．已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
3．函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示则(　　)
A．为f (x)的极大值点
B．－2为f (x)的极大值点
C．2为f (x)的极大值点
D．为f (x)的极小值点
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
5．已知a为常数，函数f (x)＝xln x－ax2＋x有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(0，e)
C． D．
6．已知函数f (x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．
7．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f (x)极大值与极小值之差为________．
8．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求y＝f (x)在区间(－1，4)上的极值．
二、易错专项
9．(多选题)若函数f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值点，则a的值可以为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个．
三、难题突破
11．已知函数f (x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f (x)无极值？
(2)试确定k的值，使f (x)的极小值为0.
参考答案
1．A
解析：对于A，函数－f (－x)与函数f (x)的图象关于原点对称，因此－x0是－f (－x)的极小值点；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x0)是否最大；对于C，函数f (－x)与函数f (x)的图象关于y轴对称，因此－x0是f (－x)的极大值点；对于D，函数f (x)与函数－f (x)的图象关于x轴对称，因此x0是－f (x)的极小值点，故D错误．
2．D
解析：∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，
∴f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f (x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f (x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.
3．A
解析：对于A选项，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，为f (x)的极大值点，A选项正确；
对于B选项，当x＜－2时，f ′(x)＜0，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，－2为f (x)的极小值点，B选项错误；
对于C选项，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，
f ′(x)＞0，2为f (x)的极小值点，C选项错误；
对于D选项，由于函数y＝f (x)为可导函数，且f ′＜0，不是f (x)的极值点，D选项错误．故选A.
4．B
解析：∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1，3是y′＝0的两个根，
∴即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
∴当x＝1时，f (x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f (x)极小值＝0，满足条件，故选B.
5．A
解析：f ′(x)＝ln x＋2－2ax，函数f (x)有两个极值点，
则f ′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，
则有解得
要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即0＜a＜.故选A.
6．
解析：∵f ′(x)＝x2－x＋c，要使f (x)无极值，
则方程f ′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c≤0，
∴c≥.
7．4
解析：求导得f ′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
因为函数f (x)在x＝2取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0.①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f ′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f ′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f ′(x)＜0时，0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，
因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c，极小值为f (2)＝－4＋c，
故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4.]
8．解：(1)因为f (x)＝x3＋ax2＋bx－1，
所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程的
斜率k＝f ′(x)|x＝1＝f ′(1)＝3＋2a＋b.
又因为k＝－8，所以2a＋b＝－11. ①
又因为f (1)＝1＋a＋b－1＝－8×1＋1，
所以a＋b＝－7， ②
联立①②解得a＝－4，b＝－3.
所以f (x)＝x3－4x2－3x－1.
(2)由(1)知，f ′(x)＝3x2－8x－3＝3(x－3)，
令f ′(x)＝0得，x1＝－，x2＝3.
当－1＜x＜－，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当－≤x＜3，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当3≤x＜4，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
所以f (x)在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ＝－.
9．AB
解析：∵f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1，∴f ′(x)＝3x2＋4x＋a2.
∵函数f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值点
则f ′(x)＝3x2＋4x＋a2与x轴有两个交点，
即Δ＝42－4×3×a2＞0解得－＜a＜，
故满足条件的有AB.故选AB.
10．－－1　1
解析：∵f (x)＝xe2x－1，f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－，
如下表所示：
x －
f ′(x) － 0 ＋
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以，函数y＝f (x)的极小值为f ＝－－1，
f (x)＝0 e2x＝，则函数y＝f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示：
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．
11．解：(1)∵f (x)＝，∴f ′(x)＝.
要使f (x)无极值，只需f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立即可．
设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，∵ex＞0，∴f ′(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)≤0恒成立，
∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，
∴当k＝4时，f (x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，令f ′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.
①当＜2，即k＜4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f ＝0，可得2·2－k·＋k＝0，
∴k＝0，满足k＜4.
②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x 2
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
∴k＝8，满足k＞4.
综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0.