人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_3_2函数的极值与最大(小)值(3)课时精练（含答案）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（3）
一、常考题型
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　)
A．2和6　　　　　　 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32，16 B．30，15 C．40，20 D．36，18
3．函数y＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为(　　)
4．已知函数f (x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．取决于a的值
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)
A．100 B．150
C．200 D．300
6．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
7．若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．
8．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
二、易错专项
9．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
10．某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N＝8 300－170M－M2，则该批材料零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
三、难题突破
11．已知函数f (x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1) f (x)存在唯一的极值点；
(2) f (x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
参考答案
1．B
解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，
则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，
y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
2．A
解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．
3．A
解析：由题意，函数f (x)＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，
满足f (－x)＝cos(－x)＋ln(|－x|＋1)＝cos x＋ln(|x|＋1)＝f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，图象关于y轴对称，
且f (0)＝cos 0＋ln(|0|＋1)＝1，f (π)＝cos π＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，
又由当x∈(0，2π]时，f (x)＝cos x＋ln(x＋1)，则f ′(x)＝－sin x＋，
则f ′＝－sin ＋＜0，f ′(π)＝－sin π＋＞0，即f ′·f ′(π)＜0，
所以函数在之间有一个极小值点，故选A.
4．C
解析：f ′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．因为函数f (x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f ′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f ′(x)＞0都成立，此时f (x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f ′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．
5．D
解析：由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
6．1.2 m
解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0，1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m．
7．(，＋∞)
解析：令f (x)＝x3＋ax2＋1，则f ′(x)＝x2＋ax.由f (x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f ′(x)＝0的根的判别式)或f (x1)·f (x2)＞0(x1，x2是f (x)的极值点)．
①由Δ≤0，得a＝0；
②令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f (x1)·f (x2)＝－a3＋a3＋1＞0，即a3＞－1，
所以a＞.
综上，实数a的取值范围是(，＋∞)．
8．解：设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，
而行驶1千米所用时间为小时，
所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
9．20 n mile/h　
解析：由题意设燃料费y1与航速v间满足y1＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，总费用为y元，
则y＝av3×＋×400＝20v2＋.
由y′＝40v－＝0，得v＝20<30.
当00，
∴当v＝20时，y最小．
10．30　23 000
解析：设该商品的利润为y元，
由题意知，y＝N(M－20)＝－M3－150M2＋11 700M－166 000，
则y′＝－3M2－300M＋11 700，
令y′＝0得M＝30或M＝－130(舍去)，
当M∈(0，30)时，y′＞0，当M∈(30，＋∞)时，y′＜0，
因此当M＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.
11．解：(1)由题意知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
因为y＝ln x在(0，＋∞)内单调递增，y＝在(0，＋∞)内单调递减，所以f ′(x)单调递增．
又f ′(1)＝－1＜0，f ′(2)＝ln 2－＝＞0，
故存在唯一的x0∈(1，2)，使得f ′(x0)＝0.
又当x当x>x0时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
因此，f (x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f (x0)0，
所以f (x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α.
由α>x0>1得＜1＜x0.
又f ＝ln －－1＝＝0，
故是f (x)＝0在(0，x0)上的唯一实根．
综上，f (x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．