人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 39.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:52:42 | ||
图片预览
文档简介
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）
【学习目标】
1．进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能综合应用两个计数原理的解决一些较复杂的实际问题．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 选(抽)取与分配问题
【例1】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
【反思感悟】
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
【跟踪训练】
1．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )
A．11 B．10
C．9 D．8
2．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
题型二 用计数原理解决组数问题
【例2】用0，1，2，3，4五个数字，
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【反思感悟】
组数问题的常见类型及解决原则
(1)常见的组数问题
①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；
②在某一定范围内的数的问题；
③各位数字和为某一定值问题；
④各位数字之间满足某种关系问题等．
(2)解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
【跟踪训练】
3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
4．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：
(1)银行存折的四位密码；
(2)比2000大的4位偶数．
题型三 用计数原理解决涂色(种植)问题
【例3】如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
【反思感悟】
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
【跟踪训练】
5．如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
二、达标检测
1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A.30 B.20 C.10 D.6
2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有( )
A.48种 B.72种 C.96种 D.108种
3.我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有( )
A.10种 B.16种 C.25种 D.32种
4.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法
三、本课小结
1．本节课的重点是组数问题，涂色问题以及抽取(分配)问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)组数问题，见例2；
(2)涂色问题，见例3；
(3)抽取(分配)问题，见例1.
3．在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．简单地说，“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏．
参考答案
题型突破
【例1】解析： 由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：
第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12种方法．
故共有2＋6＋12＝20种选法．
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．
法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同安排方法．
2．答案：B
解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种选派方案．
【例2】解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【跟踪训练】
3．答案：B
解析：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．
4．解：(1)分步解决．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．
(2)法一：按个位是0，2，4分为三类：
第一类：个位是0的有4×4×3＝48(个)；
第二类：个位是2的有3×4×3＝36(个)；
第三类：个位是4的有3×4×3＝36(个)；
则由分类加法计数原理得比2 000大的4位偶数有N＝48＋36＋36＝120(个)．
法二：按千位是2，3，4，5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类加法计数原理得比2 000大的4位偶数有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
法三：间接法：
用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：个数是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：个数是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．
共有60＋96＝156(个)．
其中比2 000小的有：千位是1的共有
3×4×3＝36(个)，
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).
【例3】解析：优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第1步，涂“优”区域，有3种选择．
第2步，涂“化”区域，有2种选择．
第3步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择．
第4步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．
【跟踪训练】
5．答案：B
解析：依次种A，B，C，D4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.
达标检测
1. 答案：D
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法.故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法.
2. 答案：B
解析：设四棱锥为P-ABCD.
当A，C颜色相同时，先染P有4种方法，再染A，C有3种方法，然后染B有2种方法，最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2=48(种)方法；当A，C颜色不相同时，先染P有4种方法，再染A有3种方法，然后染C有2种方法，最后染B，D都有1种方法.根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×1×1=24(种)方法.综上，共有48+24=72(种)方法.故选B.
3. 答案：B
解析：走法共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16(种).故选B.
4.解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类，甲入选，另1人只需从其他8人中任选1人，故这类选法共8种；第2类，甲不入选，则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出，有6种不同的选法，会小号的也只能从只会小号的2人中选出，有2种不同的选法，所以这类选法共有6×2=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法.
【学习目标】
1．进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能综合应用两个计数原理的解决一些较复杂的实际问题．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 选(抽)取与分配问题
【例1】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
【反思感悟】
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
【跟踪训练】
1．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )
A．11 B．10
C．9 D．8
2．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
题型二 用计数原理解决组数问题
【例2】用0，1，2，3，4五个数字，
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【反思感悟】
组数问题的常见类型及解决原则
(1)常见的组数问题
①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；
②在某一定范围内的数的问题；
③各位数字和为某一定值问题；
④各位数字之间满足某种关系问题等．
(2)解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
【跟踪训练】
3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
4．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：
(1)银行存折的四位密码；
(2)比2000大的4位偶数．
题型三 用计数原理解决涂色(种植)问题
【例3】如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
【反思感悟】
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
【跟踪训练】
5．如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
二、达标检测
1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A.30 B.20 C.10 D.6
2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有( )
A.48种 B.72种 C.96种 D.108种
3.我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有( )
A.10种 B.16种 C.25种 D.32种
4.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法
三、本课小结
1．本节课的重点是组数问题，涂色问题以及抽取(分配)问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)组数问题，见例2；
(2)涂色问题，见例3；
(3)抽取(分配)问题，见例1.
3．在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．简单地说，“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏．
参考答案
题型突破
【例1】解析： 由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：
第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12种方法．
故共有2＋6＋12＝20种选法．
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．
法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同安排方法．
2．答案：B
解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种选派方案．
【例2】解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【跟踪训练】
3．答案：B
解析：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．
4．解：(1)分步解决．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．
(2)法一：按个位是0，2，4分为三类：
第一类：个位是0的有4×4×3＝48(个)；
第二类：个位是2的有3×4×3＝36(个)；
第三类：个位是4的有3×4×3＝36(个)；
则由分类加法计数原理得比2 000大的4位偶数有N＝48＋36＋36＝120(个)．
法二：按千位是2，3，4，5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类加法计数原理得比2 000大的4位偶数有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
法三：间接法：
用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：个数是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：个数是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．
共有60＋96＝156(个)．
其中比2 000小的有：千位是1的共有
3×4×3＝36(个)，
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).
【例3】解析：优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第1步，涂“优”区域，有3种选择．
第2步，涂“化”区域，有2种选择．
第3步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择．
第4步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．
【跟踪训练】
5．答案：B
解析：依次种A，B，C，D4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.
达标检测
1. 答案：D
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法.故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法.
2. 答案：B
解析：设四棱锥为P-ABCD.
当A，C颜色相同时，先染P有4种方法，再染A，C有3种方法，然后染B有2种方法，最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2=48(种)方法；当A，C颜色不相同时，先染P有4种方法，再染A有3种方法，然后染C有2种方法，最后染B，D都有1种方法.根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×1×1=24(种)方法.综上，共有48+24=72(种)方法.故选B.
3. 答案：B
解析：走法共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16(种).故选B.
4.解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类，甲入选，另1人只需从其他8人中任选1人，故这类选法共8种；第2类，甲不入选，则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出，有6种不同的选法，会小号的也只能从只会小号的2人中选出，有2种不同的选法，所以这类选法共有6×2=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法.