人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 155.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:53:12 | ||
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文档简介
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．
3．会根据实际问题合理分类或分步．
学习重难点
重点：理解两个计数原理的内容及它们的区别
难点：两个计数原理的应用
学习过程
一、新知探究
知识点一、分类加法计数原理
[提出问题]
2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
问题1：该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？
提示：两类，即乘飞机、坐火车．
问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法．
[导入新知]
1．完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
[化解疑难]
1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．
知识点二、分步乘法计数原理
[提出问题]
2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车．
问题1：该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？
提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳．
问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同的方法．
[导入新知]
1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
[化解疑难]
1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．
二、典型例题
题型一：分类加法计数原理
例1．某校高三共有三个班，各班人数如下表.
男生数 女生数 总数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[类题通法]利用分类加法计数原理时要注意
(1)要准确理解题意，确定分类的标准．
(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．
[活学活用]
1、若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
题型二：分步乘法计数原理
例2．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位偶数．
[类题通法]利用分步乘法计数原理时要注意
(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；
(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
[活学活用]
2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
题型三：两个计数原理的综合应用
例3．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
[类题通法]
在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
[活学活用]
3、有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
三、随堂检测
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18 B．17
C．16 D．10
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________种．
4．一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．
5．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
参考答案
典型例题
例1．解： (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
[活学活用]
1、解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.
典型例题
例2．解：(1)三位数有三个数位：
百位 十位 个位
故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．
[活学活用]
2、解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20种不同的取法．
(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法．
典型例题
例3．解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．
(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．
[活学活用]
3、解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．
由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
随堂检测
1．答案：B
解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2．答案：B
解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．
3．答案：36
解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
4．答案：7 12
解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法．
若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法．
5．解：(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．
学习目标
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．
3．会根据实际问题合理分类或分步．
学习重难点
重点：理解两个计数原理的内容及它们的区别
难点：两个计数原理的应用
学习过程
一、新知探究
知识点一、分类加法计数原理
[提出问题]
2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
问题1：该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？
提示：两类，即乘飞机、坐火车．
问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法．
[导入新知]
1．完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
[化解疑难]
1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．
知识点二、分步乘法计数原理
[提出问题]
2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车．
问题1：该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？
提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳．
问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同的方法．
[导入新知]
1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
[化解疑难]
1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．
二、典型例题
题型一：分类加法计数原理
例1．某校高三共有三个班，各班人数如下表.
男生数 女生数 总数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[类题通法]利用分类加法计数原理时要注意
(1)要准确理解题意，确定分类的标准．
(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．
[活学活用]
1、若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
题型二：分步乘法计数原理
例2．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位偶数．
[类题通法]利用分步乘法计数原理时要注意
(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；
(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
[活学活用]
2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
题型三：两个计数原理的综合应用
例3．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
[类题通法]
在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
[活学活用]
3、有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
三、随堂检测
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18 B．17
C．16 D．10
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________种．
4．一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．
5．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
参考答案
典型例题
例1．解： (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
[活学活用]
1、解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.
典型例题
例2．解：(1)三位数有三个数位：
百位 十位 个位
故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．
[活学活用]
2、解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20种不同的取法．
(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法．
典型例题
例3．解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．
(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．
[活学活用]
3、解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．
由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
随堂检测
1．答案：B
解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2．答案：B
解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．
3．答案：36
解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
4．答案：7 12
解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法．
若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法．
5．解：(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．