人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2 排列、排列数(2)导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2 排列、排列数(2)导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 29.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:53:37 | ||
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文档简介
6.2 排列、排列数（2）
【学习目标】
1．进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算．
2．能用所学的排列知识正确解决简单的实际问题，掌握常用的方法：直接法(如特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法等)、间接法．
3．通过实例分析过程，体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 数字的排列问题
【例1】用0,1,2,3,4这五个数字，
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
【反思感悟】
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．如(4)中，首先考虑特殊位置个位，只要从1,3中选一个填入，再保证万位数字不是0，且中间数字不重复，就是符合要求的奇数．
【跟踪训练】
1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数．
题型二 排队问题
【例2】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，男生不能排在一起；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前、后两排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【反思感悟】
求排列应用题的主要方法
(1)直接法，即把符合条件的排列数直接列式计算．
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．
(3)排列、组合混合问题先选后排的方法．
(4)相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(5)不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
(6)“小集团”排列问题中，先集体后局部的处理方法．
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
(8)正难则反，等价转化的方法．
【跟踪训练】
2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端；
(2)甲、乙必须相邻；
(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间间隔两人；
(5)甲、乙站在两端；
(6)甲不站左端，乙不站右端；
(7)甲在乙的左面．
二、达标检测
1．一间谍飞机侵入某国领空，三架战机奉命拦截，要求三架战机分别位于敌机左、右两翼和后方成三角之势，则三架战机的不同排列方式有( )
A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
3．书架上原来摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为( )
A．A B．A
C．9×8×7 D．2A
4．在数字1,2,3与符号 ，λ这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是________．
三、本课小结
1．本节课的重点是排列中的数字问题、排队问题，其中数字问题是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法：
(1)数字排列问题的解决方法，见例1；
(2)排队问题的解决方法，见例2；
3．“排队”问题与“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况较复杂时，可以用间接法．
注意分类时不重不漏，分步要连续独立；间接法要注意不符合条件的情形．
参考答案
题型突破
【例1】解析：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理，可得4×5×5×5×5＝2 500(个)．
(2)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个数位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种，其余任排有A种，故有2A·A种．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排为2A，所以共有2A·A＋2A＝8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非零数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
【跟踪训练】
1．解：(1)第一步，排个位，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法．
故共有AAA＝288个六位奇数．
(2)解法一(直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个．
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．
解法二(排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
(3)①当千位上排1,3时，有AAA个，
②当千位上排2时，有AA个．
③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；
形如41××的有AA个；
形如43××的只有4 310和4 302这2个数，
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个).
【例2】解析：(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有A种，其余6人全排列，有A种．
由分步乘法计数原理得AA＝2 160(种)．
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种．
则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720(种)．
(3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有AA＝720(种)．
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA＝144(种)．
(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA＝1 440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此A＝N×A，∴N＝＝840(种)．
(7)与无任何限制的排列相同，有A＝5 040(种)．
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有A×A×A＝720(种)．
【跟踪训练】
2．解：(1)由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝240(种)站法．
(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法．第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A种站法，故共有站法为A·A ＝480(种)．
(4)先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A·(3A)＝144(种)站法．
(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48(种)站法．
(6)甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有－2A＋A＝504(种)站法．
(7)六人站成一排共有A种站法，而甲、乙有A种站法，所以共有＝360(种)站法．
达标检测
1．答案：B
解析：三架战机的排列方式有A＝3！＝3×2×1＝6(种)．
2．答案：C
解析：个位数字有2种选择，5不在首位，故共有A×A×A＝36个．
3．答案：C
解析：解法一：9本书排成一排，相当于9个位置，原来6本书顺序不变，故此题相当于在9个位置中选3个排后来的3本书，有A种排法，而原来的6本书只有一种排法，故共有A×1＝A＝9×8×7种方法，
解法二：因为要插入3本书，故分三步．第一步，插第一本书有7种方法；第二步，插第二本书，有8种方法；第三步，插第三本书，有9种方法、由分步乘法计数原理，共有7×8×9种方法．
解法三：9本书排成一排有A种排法，原6本书若排列则有A种排法，故符合题意的插法有＝A＝9×8×7.
4．答案：12
解析：符号 ，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有AA＝12种．
【学习目标】
1．进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算．
2．能用所学的排列知识正确解决简单的实际问题，掌握常用的方法：直接法(如特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法等)、间接法．
3．通过实例分析过程，体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 数字的排列问题
【例1】用0,1,2,3,4这五个数字，
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
【反思感悟】
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．如(4)中，首先考虑特殊位置个位，只要从1,3中选一个填入，再保证万位数字不是0，且中间数字不重复，就是符合要求的奇数．
【跟踪训练】
1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数．
题型二 排队问题
【例2】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，男生不能排在一起；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前、后两排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【反思感悟】
求排列应用题的主要方法
(1)直接法，即把符合条件的排列数直接列式计算．
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．
(3)排列、组合混合问题先选后排的方法．
(4)相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(5)不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
(6)“小集团”排列问题中，先集体后局部的处理方法．
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
(8)正难则反，等价转化的方法．
【跟踪训练】
2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端；
(2)甲、乙必须相邻；
(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间间隔两人；
(5)甲、乙站在两端；
(6)甲不站左端，乙不站右端；
(7)甲在乙的左面．
二、达标检测
1．一间谍飞机侵入某国领空，三架战机奉命拦截，要求三架战机分别位于敌机左、右两翼和后方成三角之势，则三架战机的不同排列方式有( )
A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
3．书架上原来摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为( )
A．A B．A
C．9×8×7 D．2A
4．在数字1,2,3与符号 ，λ这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是________．
三、本课小结
1．本节课的重点是排列中的数字问题、排队问题，其中数字问题是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法：
(1)数字排列问题的解决方法，见例1；
(2)排队问题的解决方法，见例2；
3．“排队”问题与“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况较复杂时，可以用间接法．
注意分类时不重不漏，分步要连续独立；间接法要注意不符合条件的情形．
参考答案
题型突破
【例1】解析：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理，可得4×5×5×5×5＝2 500(个)．
(2)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个数位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种，其余任排有A种，故有2A·A种．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排为2A，所以共有2A·A＋2A＝8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非零数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
【跟踪训练】
1．解：(1)第一步，排个位，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法．
故共有AAA＝288个六位奇数．
(2)解法一(直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个．
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．
解法二(排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
(3)①当千位上排1,3时，有AAA个，
②当千位上排2时，有AA个．
③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；
形如41××的有AA个；
形如43××的只有4 310和4 302这2个数，
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个).
【例2】解析：(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有A种，其余6人全排列，有A种．
由分步乘法计数原理得AA＝2 160(种)．
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种．
则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720(种)．
(3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有AA＝720(种)．
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA＝144(种)．
(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA＝1 440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此A＝N×A，∴N＝＝840(种)．
(7)与无任何限制的排列相同，有A＝5 040(种)．
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有A×A×A＝720(种)．
【跟踪训练】
2．解：(1)由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝240(种)站法．
(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法．第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A种站法，故共有站法为A·A ＝480(种)．
(4)先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A·(3A)＝144(种)站法．
(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48(种)站法．
(6)甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有－2A＋A＝504(种)站法．
(7)六人站成一排共有A种站法，而甲、乙有A种站法，所以共有＝360(种)站法．
达标检测
1．答案：B
解析：三架战机的排列方式有A＝3！＝3×2×1＝6(种)．
2．答案：C
解析：个位数字有2种选择，5不在首位，故共有A×A×A＝36个．
3．答案：C
解析：解法一：9本书排成一排，相当于9个位置，原来6本书顺序不变，故此题相当于在9个位置中选3个排后来的3本书，有A种排法，而原来的6本书只有一种排法，故共有A×1＝A＝9×8×7种方法，
解法二：因为要插入3本书，故分三步．第一步，插第一本书有7种方法；第二步，插第二本书，有8种方法；第三步，插第三本书，有9种方法、由分步乘法计数原理，共有7×8×9种方法．
解法三：9本书排成一排有A种排法，原6本书若排列则有A种排法，故符合题意的插法有＝A＝9×8×7.
4．答案：12
解析：符号 ，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有AA＝12种．