人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2_4组合的应用导学案（含答案）

6.2.4 组合的应用
学习目标
1．进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用．
2．能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略．
3．体会简单的排列组合综合问题．
学习重难点
重点：常见的解决组合问题的解题策略．
难点：实际问题的转化
学习过程
一、考点回顾
1．排列与组合的不同点是什么？
2．利用组合数的性质应注意什么？
二、典型例题
题型一：组合问题的简单应用
[例1]　某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？
[类题通法]
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．
[活学活用]
1、现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？
题型二：与几何有关的组合问题
[例2]　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
[类题通法]
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
[活学活用]
2、四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
题型三：排列与组合的综合运用
[例3]　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
[类题通法]
1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
[活学活用]
3、有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
三、随堂检测
1．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
A．140种　　　　　　　 B．120种
C．35种 D．34种
2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
3．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．
4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有1名队长当选.
参考答案
典型例题
[例1]　[解]　(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：种选法；有4名女生：种选法；有5名女生：种选法；有6名女生：种选法．所以至少有3名女生共有＋＋＋＝8 955种选法．
(2)至少有5名男生的选法可分为如下四类：
有5名男生：种选法；有6名男生：种选法；有7名男生：种选法；有8名男生：种选法．所以至少有5名男生共有＋＋＋＝8 955种选法．
(3)至多有3名女生的选法可分为如下四类：
不含女生：种选法；有1名女生：种选法；有2名女生：种选法；有3名女生：种选法．所以至多有3名女生共有＋＋＋＝8 955种选法．
[活学活用]
1、解：　(1)从2件次品中任取1件，有种抽法；
从8件正品中取2件，有种抽法．
由分步乘法计数原理可知，共有×＝56种不同的抽法．
(2)法一：含1件次品有C×C种抽法，
含2件次品有C×C种抽法．
由分类加法计数原理知，共有
C×C＋C×C＝56＋8＝64种不同的抽法．
法二：从10件产品中任取3件有C种抽法，
不含次品有C种抽法，
所以至少有1件次品有C－C＝64种抽法．
典型例题
[例2]　[解]　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，共有
48＋112＋56＝216个不同的三角形．
法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216.
[活学活用]
2、解：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，有3C＋3＝33种种与顶点A共面三点的取法.
典型例题
[例3]　[解]　分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种．
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
[活学活用]
3、解：分两类：
第1类，甲被选中，共有种分派方案；
第2类，甲不被选中，共有CCA种分派方案．
根据分类加法计数原理，共有
CCCA＋CCA＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．
随堂检测
1．答案：D
解析：分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共有CC种选法．则共有CC＋CC＋CC＝34种选法．
2．答案：D
解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C＝1种取法，取2奇数2偶数有C·C＝60种取法，取4个数均为奇数有C＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．
3．答案：140
解析：先从7人中选6人参加公益活动有C种选法，再从6人中选3人在周六参加有C种选法，剩余3人在周日参加，因此有CC＝140种不同的安排方案．
4．答案：36
解析：有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数．
5．解析：(1)1名女生，4名男生，故共有·＝350种选法．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有种选法．
(3)法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有C·C＋C·C＝825种选法．
法二：采用间接法共有－C＝825种选法．