人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2组合、组合数(2)导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2组合、组合数(2)导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 35.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 21:55:33 | ||
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文档简介
6.2 组合、组合数(2)
【学习目标】
1．进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用．
2．能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略．
3．体会简单的排列组合综合问题．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【反思感悟】
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”、“至多”、“含”、“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
【跟踪训练】
1．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
题型二 分组与分配问题
【例2】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本．
【反思感悟】
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
【跟踪训练】
2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
题型三 排列与组合的综合应用
【例3】有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中随机取出4张卡片排成一行．若取出的4张卡片所标数字之和等于10，则有多少种不同的排法？
[思路点拨] 取出的4张卡片数字之和等于10，要注意1＋2＋3＋4＝10,1＋1＋4＋4＝10,2＋2＋3＋3＝10，要据此分类取出卡片，还要排序．
【反思感悟】
解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
【跟踪训练】
3．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
二、达标检测
1．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有2个球取自同一格中，则不同的拿法一共有( )
A．C种 B．C种
C．CC种 D．C·25种
2．某城市街道如图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有( )
A．8种 B．10种
C．12种 D．32种
3．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．CC 种 B.种
C.种 D.种
4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少1名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
三、本课小结
1．本节课的重点是有限制条件的组合问题、分组(分配)问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有限制条件的组合问题的解法，见例1；
(2)分组(分配)问题的求法，见例2；
(3)排列、组合的综合问题的解法，见例3.
3．本节课的易错点是平均分组问题．
参考答案
题型突破
【例1】解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．
【跟踪训练】
1．解：法一：设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内有C·C＝5种选派方法；
A，B都在内且当钳工有CCC＝10种选派方法；
A，B都在内且当车工有CCC＝30种选派方法；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工有CACC＝80种选派方法；
A，B有一人在内当钳工有CCC＝20种选派方法；
A，B有一人在内当车工有CCC＝40种选派方法．
故一共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．
法二：5名男钳工有4名被选上有CC＋CCC＋CCC＝75种选派方法；
5名男钳工有3名被选上有CCC＋CCA＝100种选派方法；
5名男钳工有2名被选上有CCC＝10种选派方法．
故一共有75＋100＋10＝185种选派方法．
法三：4名女车工都在内有CC＋CCC＋CCC＝35种选派方法；
4名女车工有3名在内有CCC＋CCA＝120种选派方法；
4名女车工有2名在内有CCC＝30种选派方法．
故一共有35＋120＋30＝185种选派方法．
【例2】解析：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；
所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90种分法．
(2)可以分两步完成：
第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；
第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．
根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到CCC＝xA，所以x＝＝15.
因此分为三份，每份2本，一共有15种分法．
(3)这是“不均匀分组”问题，按照(1)的方法得到一共有CCC＝6×(5×2)×1＝60种分法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法．
【跟踪训练】
2．解：(1)这是全排列问题，共有A＝24种放法．
(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C·2＝8种放法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．
(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球．
【例3】解析：分三类：
第一类：当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法种数为C·C·C·C·A＝384；
第二类：当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法种数为C·C·A＝24；
第三类：当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法种数为C·C·A＝24.
根据分类加法计数原理可得，满足题意的排法种数为384＋24＋24＝432.
【跟踪训练】
3．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5 400种选法．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种选法．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360种选法．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种选法．
达标检测
1．答案：D
解析：从5个格子中分别取1个球，每个格子共有2种取法，故共有C·25种．
2．答案：B
解析：不同的走有C ＝10(种)，故选B.
3．答案：B
解析：解法一(直接法)：至少有2件次品的抽法有两种可能，即：
①2件次品，3件合格品，有CC种；
②3件次品，2件合格品，有CC种．
由分类加法计数原理得抽法种数为种．
所以应选B.
解法二(间接法)：不论次品，抽法有C种，恰有1件次品的抽法种数为CC种，没有次品的抽法种数为C种，所以至少有2件次品的抽法种数为种．所以应选B.
4．答案：36
解析：有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．
【学习目标】
1．进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用．
2．能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略．
3．体会简单的排列组合综合问题．
【学习过程】
一、题型突破
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【反思感悟】
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”、“至多”、“含”、“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
【跟踪训练】
1．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
题型二 分组与分配问题
【例2】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本．
【反思感悟】
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
【跟踪训练】
2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
题型三 排列与组合的综合应用
【例3】有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中随机取出4张卡片排成一行．若取出的4张卡片所标数字之和等于10，则有多少种不同的排法？
[思路点拨] 取出的4张卡片数字之和等于10，要注意1＋2＋3＋4＝10,1＋1＋4＋4＝10,2＋2＋3＋3＝10，要据此分类取出卡片，还要排序．
【反思感悟】
解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
【跟踪训练】
3．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
二、达标检测
1．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有2个球取自同一格中，则不同的拿法一共有( )
A．C种 B．C种
C．CC种 D．C·25种
2．某城市街道如图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有( )
A．8种 B．10种
C．12种 D．32种
3．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．CC 种 B.种
C.种 D.种
4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少1名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
三、本课小结
1．本节课的重点是有限制条件的组合问题、分组(分配)问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有限制条件的组合问题的解法，见例1；
(2)分组(分配)问题的求法，见例2；
(3)排列、组合的综合问题的解法，见例3.
3．本节课的易错点是平均分组问题．
参考答案
题型突破
【例1】解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．
【跟踪训练】
1．解：法一：设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内有C·C＝5种选派方法；
A，B都在内且当钳工有CCC＝10种选派方法；
A，B都在内且当车工有CCC＝30种选派方法；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工有CACC＝80种选派方法；
A，B有一人在内当钳工有CCC＝20种选派方法；
A，B有一人在内当车工有CCC＝40种选派方法．
故一共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．
法二：5名男钳工有4名被选上有CC＋CCC＋CCC＝75种选派方法；
5名男钳工有3名被选上有CCC＋CCA＝100种选派方法；
5名男钳工有2名被选上有CCC＝10种选派方法．
故一共有75＋100＋10＝185种选派方法．
法三：4名女车工都在内有CC＋CCC＋CCC＝35种选派方法；
4名女车工有3名在内有CCC＋CCA＝120种选派方法；
4名女车工有2名在内有CCC＝30种选派方法．
故一共有35＋120＋30＝185种选派方法．
【例2】解析：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；
所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90种分法．
(2)可以分两步完成：
第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；
第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．
根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到CCC＝xA，所以x＝＝15.
因此分为三份，每份2本，一共有15种分法．
(3)这是“不均匀分组”问题，按照(1)的方法得到一共有CCC＝6×(5×2)×1＝60种分法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法．
【跟踪训练】
2．解：(1)这是全排列问题，共有A＝24种放法．
(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C·2＝8种放法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．
(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球．
【例3】解析：分三类：
第一类：当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法种数为C·C·C·C·A＝384；
第二类：当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法种数为C·C·A＝24；
第三类：当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法种数为C·C·A＝24.
根据分类加法计数原理可得，满足题意的排法种数为384＋24＋24＝432.
【跟踪训练】
3．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5 400种选法．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种选法．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360种选法．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种选法．
达标检测
1．答案：D
解析：从5个格子中分别取1个球，每个格子共有2种取法，故共有C·25种．
2．答案：B
解析：不同的走有C ＝10(种)，故选B.
3．答案：B
解析：解法一(直接法)：至少有2件次品的抽法有两种可能，即：
①2件次品，3件合格品，有CC种；
②3件次品，2件合格品，有CC种．
由分类加法计数原理得抽法种数为种．
所以应选B.
解法二(间接法)：不论次品，抽法有C种，恰有1件次品的抽法种数为CC种，没有次品的抽法种数为C种，所以至少有2件次品的抽法种数为种．所以应选B.
4．答案：36
解析：有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．