人教A版（2019）数学选择性必修第三册综合复习：导数的简单应用 学案（含答案）

导数的简单应用
考点一　导数的几何意义及运算
【经典再现】
[例1] (课标全国Ⅲ，6，5分)已知曲线y=a+xln x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则(　 　)
A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1
C.a=，b=1 D.a=，b=-1
[例2] (课标全国Ⅰ，5，5分)设函数f(x)=+(a-1)+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　)
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
[例3] (课标全国Ⅰ，13，5分)曲线y=3(+x)在点(0，0)处的切线方程为__________.
【总结提升】
1.在点P处的切线方程的求法
设切点P(x0，y0)，然后根据以下三个方面列方程：
①切点在曲线上，即y0=f(x0)；
②切线斜率等于函数在切点处的导数，即切线斜率k=f '(x0)；
③切点在切线上，即切线方程为y-y0=k(x-x0).
2.过点P的切线方程的求法
先设切点Q(x0，y0)，然后根据过点P且切点为Q的切线方程的求法求解.
[提醒]　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
【对点训练】
1.(河南林州一中调研)已知函数f(x)的导函数为f '(x)，且满足关系式f(x)=+3xf '(2)-ln x，则f '(2)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
2.(广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线y=a+x在点(1，ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行，则实数a=(　 　)
A. B.
C. D.
考点二　利用导数研究函数单调性
[例4] (课标全国Ⅰ，21，12分)已知函数f(x)=a+(a-2)·-x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【总结提升】
1. 分类讨论的常见情况
(1) 导数符号.
①f '(x)≥0，②f '(x)≤0，③不确定，令f '(x)=0，有以下两种情况：根不在定义域内，根在定义域内，当存在多个根时，需比较大小；
(2) 二次项系数、判别式.
y=a+bx+c，①a=0，②a≠0时，有以下两种情况：Δ≤0，Δ>0；
(3) ①分母=0，②分母≠0；
(4) 参数符号；
(5) 分段函数.
2. 由函数的单调性求参数的方法
(1)可导函数f(x)在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f '(x)≥0 (或f '(x)≤0) 恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，进而求出参数的取值范围；
(2)可导函数f(x)在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f '(x)>0(或f '(x)<0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，进而求出参数的取值范围；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
【对点训练】
1.(福建厦门质检)函数y=-ln x的单调递减区间为(　　)
A.(-1，1) B.(0，1]
C.(1，+∞) D.(0，2)
2.(安徽江南十校联考)设函数f(x)= -9ln x在区间[a-1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)
A.(1，2] B.[4，+∞)
C.(-∞，2] D.(0，3]
3.(河北武邑中学调研)已知函数f(x)=-ax(a∈R，e为自然对数的底数).
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-++x在(2，+∞)上为增函数，求实数m的取值范围.
考点三　利用导数研究极值、最值
命题角度一　求函数的极值、最值
【经典再现】
[例5] (课标全国Ⅲ文，20，12分)已知函数f(x)=2-a+2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0【总结提升】
1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求定义域；(2)求导；(3)令f '(x)=0；(4)列表，检查f '(x)在方程根左、右值的符号；(5)得出结论.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”.
2. 已知函数极值求参数时需注意的问题
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
3. 求可导函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)， f(b)比较，得出f(x)在[a，b]上的最值.
【对点训练】
1.(内蒙古赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f '(x)，若函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　 　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2. (陕西五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x，其中a为常数.
(1)当a=-1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为-3，求a的值.
命题角度二　与极值点个数有关的问题
【经典再现】
[例6] (课标全国Ⅰ，21，12分)已知函数f(x)=-x+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：【总结提升】
与极值点个数有关的问题的求法
将函数f(x)极值的情况，转化为方程f '(x)=0实根的情况.含有两个以上极值点时，可借助单调性，代数关系，对称性等，将所求消元降次.
【对点训练】
1.(江西南昌调研)已知a为常数，函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1，x2(x1A. f(x1)>0， f(x2)>-
B. f(x1)<0， f(x2)<-
C. f(x1)>0， f(x2)<-
D. f(x1)<0， f(x2)>-
2.(湖南衡阳联考)已知函数f(x)=ln x+-ax(a>0).
(1)讨论f(x)在(0，1)上极值点的个数；
(2)若x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
考点一　导数的几何意义及运算
【经典再现】
[例1] 答案：D　
解析：∵y'=a+ln x+1，y'|x=1=ae+1，
∴2=ae+1，∴a=.故切点坐标为(1，1)，
将切点坐标(1，1)代入y=2x+b，
得1=2+b，∴b=-1，故选D.
[例2] 答案：D
解析：∵f(x)= +(a-1)+ax为奇函数，∴a-1=0，解得a=1，
∴f(x)=+x，∴f '(x)=3+1，∴f '(0)=1，
故曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为y=x，故选D.
[例3] 答案：y=3x
解析：∵y'=3(+3x+1)，∴曲线在点(0，0)处的切线斜率k=y'|x=0=3，
∴曲线在点(0，0)处的切线方程为y=3x.
【对点训练】
1. 答案：B　
∵f(x)=+3x f '(2)-ln x，
∴f '(x)=2x+3f '(2)- ，
令x=2，得f '(2)=4+3f '(2)- ，解得f '(2)=-.
2. 答案：B　
解析：∵y'=a+1，∴曲线在点(1，ae+1)处的切线斜率为y'|x=1=ae+1，又该切线与2ex-y-1=0平行，∴ae+1=2e，解得a=.
考点二　利用导数研究函数单调性
[例4] 解析：(1)f(x)的定义域为(-∞，+∞)， f '(x)=2a+(a-2)-1=(a-1)(2+1).
若a≤0，则f '(x)<0，所以f(x)在(-∞，+∞)单调递减.
若a>0，则由f '(x)=0得x=-ln a.
当x∈(-∞，-ln a)时， f '(x)<0；当x∈(-ln a，+∞)时，f '(x)>0.
所以f(x)在(-∞，-ln a)单调递减，在(-ln a，+∞)单调递增.
(2)若a≤0，由(1)知， f(x)至多有一个零点.
若a>0，由(1)知，当x=-ln a时， f(x)取得最小值，最小值为f(-ln a)=1-+ln a.
①当a=1时，由于f(-ln a)=0，故f(x)只有一个零点；
②当a∈(1，+∞)时，由于1-+ln a>0，即f(-ln a)>0，
故f(x)没有零点；
③当a∈(0，1)时，1-+ln a<0，即f(-ln a)<0.
又f(-2)=a+(a-2)+2>-2+2>0，故f(x)在(-∞，-ln a)有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln，则f(n0)= (a+a-2)-n0>-n0>-n0>0.
由于ln>-ln a，因此f(x)在(-ln a，+∞)内有一个零点.
综上，a的取值范围为(0，1).
【对点训练】
1. 答案：B　
解析：函数的定义域为(0，+∞)，由y'=x-≤0得0所以函数的单调递减区间为(0，1].
2. 答案：A　
解析：易知函数f(x)的定义域是(0，+∞)， f '(x)=x-，
由f '(x)≤0解得0由解得13. 解析：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为R， f '(x)=-a.
①若a≤0，则f '(x)>0，
∴f(x)在R上为增函数.
②若a>0，则由f '(x)=0得x=ln a，
当x∈(-∞，ln a)时， f '(x)<0，
∴f(x)在(-∞，ln a)上为减函数，
当x∈(ln a，+∞)时， f '(x)>0，
∴f(x)在(ln a，+∞)上为增函数.
(2)若a=1，则g(x)=(x-m)(-x)-++x.
∵g(x)在(2，+∞)上为增函数，
∴g'(x)=x-m+m+1≥0在(2，+∞)上恒成立，
即m≤在(2，+∞)上恒成立.
令h(x)=， x∈(2，+∞)，则
h'(x)==.
令L(x)=-x-2，则L'(x)=-1>0，
∴L(x)在(2，+∞)上为增函数，L(x)>L(2)=-4>0，
∴在(2，+∞)上，h'(x)>0，h(x)为增函数，
∴h(x)>h(2)=，
∴m≤，
即实数m的取值范围是.
考点三　利用导数研究极值、最值
命题角度一　求函数的极值、最值
【经典再现】
[例5] 解析：(1)f '(x)=6-2ax=2x(3x-a).
令f '(x)=0，得x=0或x=.
若a>0，则当x∈(-∞，0)∪时， f '(x)>0；
当x∈时， f '(x)<0.
故f(x)在(-∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a=0， 则f(x)在(-∞，+∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，+∞)时， f '(x)>0；
当x∈时， f '(x)<0.
故f(x)在，(0，+∞)单调递增，在单调递减.
(2)当0所以f(x)在[0，1]的最小值为f=-+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=-+2，M=
所以M-m=
当0当2≤a<3时，单调递增，所以M-m的取值范围是.
综上，M-m的取值范围是.
【对点训练】
1. 答案：D　
解析：由题图知，当x<-2时， f '(x)>0；
当x=-2时， f '(x)=0；当-2当x=1时，f '(x)不确定；当1当x=2时， f '(x)=0；当x>2时， f '(x)>0.
所以f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值.
2. 解析：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
当a=-1时， f(x)=-x+ln x， f '(x)=-1+=，令f '(x)=0，得x=1.
当00；当x>1时， f '(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数，f(x)max=f(1)=-1.
∴当a=-1时， f(x)在(0，+∞)上的最大值为f(1)， f(1)=-1.
(2)f '(x)=a+，x∈(0，e]， ∈.
若a≥-，则f '(x)≥0， f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0，不符合题意.
若a<-，令f '(x)>0，即a+>0，结合x∈(0，e]，解得0令f '(x)<0，即a+<0，结合x∈(0，e]，解得-∴f(x)在上为增函数，在上为减函数，
∴f(x)max=f=-1+ln.
令-1+ln=-3，得ln=-2，即a=-.
∵-<-，∴a=-符合题意.综上，a的值为-.
命题角度二　与极值点个数有关的问题
【经典再现】
[例6] 解析：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， f '(x)=--1+=-.
(i)若a≤2，则f '(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时， f '(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.
(ii)若a>2，令f '(x)=0，得x=或x=.
当x∈∪时， f '(x)<0；
当x∈时， f '(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明：由(1)知， f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足-ax+1=0，
所以x1x2=1，不妨设x11，
由于 =--1+a=-2+a=-2+a，
所以设函数g(x)=-x+2ln x，
由(1)知，g(x)在(0，+∞)上单调递减，
又g(1)=0，从而当x∈(1，+∞)时，g(x)<0，
所以-x2+2ln x2<0，
即【对点训练】
1. 答案：D
解析：由已知可得， f '(x)=ln x-2ax+1， f '(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1由直线y=x是曲线y=1+ln x的一条切线，知0<2a<1，0由0∵当x10，∴f(x2)>f(1)=-a>- ，∴选D.
2. 解析：(1) f '(x)=+2x-a=，x∈(0，1)，a>0，
设g(x)=2-ax+1，x∈(0，1)，a>0，则Δ=-8.
①若Δ≤0，即00，
此时f(x)在(0，1)上无极值点；
②若Δ>0，即a>2，
由g(x)=0，得x1=，x2=.
若2此时f(x)在(0，1)上有两个极值点；
若a≥3，则0x2=>=1.
此时f(x)在(0，1)上只有一个极值点.
综上，若0若2若a≥3，则f(x)在(0，1)上只有一个极值点.
(2)∵x1，x2(x1∴x1，x2是方程f '(x)=0在(0，1)内的两个不同的实根.
令f '(x)=0，得x1，x2是方程2-ax+1=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=-8>0，a>2，x1+x2=>0，x1·x2=.
f(x1)-f(x2)=(ln x1+-ax1)-(ln x2+-ax2)=ln+(- )+a(x2-x1)=ln +(- )+2(x1+x2)(x2-x1)=ln+- =ln+·，
令t=∈(0，1)，则
f(x1)-f(x2)=ln t+，t∈(0，1)，
令h(t)=ln t+，t∈(0，1)，则h'(t)=-<0，
∴h(t)在(0，1)内单调递减，h(t)>h(1)=0，即f(x1)-f(x2)>0.
∴m≤0，即m的取值范围是(-∞，0].