人教A版（2019）数学选择性必修第三册综合复习：两个计数原理学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册综合复习：两个计数原理学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 67.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 08:13:39 | ||
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文档简介
两个计数原理
新课程标准 考向预测
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 命题角度 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 3.两个计数原理的综合应用
核心素养 数学建模、数学运算
【基础梳理】
基础点一 分类加法计数原理
1．基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．推广形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．
特别提示：分类加法计数原理在使用时注意每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
基础小测
1．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
2．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则点(x，y)的个数为 ( )
A．10 B．12
C．14 D．15
基础点二 分步乘法计数原理
1．基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．
2．推广形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
特别提示：分步乘法计数原理在使用时注意每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．
基础小测
1．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目．如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210
C．336 D．120
2．小刚同学要从6个不同的人文课外活动小组和4个不同的自然课外活动小组中各选择一个参加，则他有不同的选择方法数为( )
A．4 B．6
C．10 D．24
【考点突破】
考点一 分类加法计数原理(高考热度：★)
[例1] 从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
同源变式
将上题改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到logab的不同值的个数为( )
A．9 B．10
C．13 D．16
考点微练
1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
解题技法
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
考点二 分步乘法计数原理(高考热度：★)
[例2] (1) 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )
A．6 B．12
C．24 D．36
(2) 有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
(3) (2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)
解题技法
利用分步乘法计数原理解决问题的策略
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．
考点微练
1．从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．
同源变式
变式1 将上题改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．
变式2 将上题改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．
3．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
考点三 两个计数原理的综合应用(高考热度：★★)
考向1 与数字有关的问题
[例3] (2019河北衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
技法点拨
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．
考向突破
1．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．
考向2 与几何有关的问题
[例4] 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18 C．24 D．36
考点突破
2．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．
考向3 涂色问题
[例5] (2019山东青岛质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
技法点拨
解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．
归纳点拨
利用分步乘法计数原理解题时需注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
参考答案
【基础梳理】
基础点一 分类加法计数原理
基础小测
1．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种；若脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；若脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；若脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种．综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．故选C.
2．解析：按x分类：当x＝1时，y＝1，2，3，4，5；当x＝2时，y＝1，2，3，4；当x＝3时，y＝1，2，3；当x＝4时，y＝1，2；当x＝5时，y＝1，所以共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．故选D.
基础点二 分步乘法计数原理
基础小测
1．解析：分三步，先插一个新节目，有7种方法；再插第二个新节目，有8种方法；最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝504(种)不同的插法．故选A.
2．解析：各选择一个小组参加，可以分为两个步骤完成．第一步从人文课外活动小组选择一个，有6种不同选法；第二步从自然课外活动小组选择一个，有4种不同选法．根据分步乘法计数原理知，共有6×4＝24(种)不同选法．故选D.
【考点突破】
考点一 分类加法计数原理(高考热度：★)
[例1] 解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
同源变式
解析：显然a≠1，当a＝2，3，4，9，b＝1时，有logab＝0，1个；当a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；当a＝3，b＝2，4，9时，有log32，log34，log39＝2(舍去)，2个；当a＝4，b＝2，3，9时，有log42＝，log43，log49＝log23(舍去)，2个；当a＝9，b＝2，3，4时，有log92，log93＝(舍去)，log94＝log32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9(个)．
考点微练
1．解析：当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
考点二 分步乘法计数原理(高考热度：★)
[例2] (1) 答案：A
解析：确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；
第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
(2) 答案：120种
解析：每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
(3) 答案：144
解析：分两步完成：①《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有A种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有A种；②《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有AA＝144(种)．
考点微练
1．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位，若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12(种)．若2或4在个位，个位数字有2种排法．再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法，共有2×(1×3＋3×2)＝18(种)，故偶数的个数为12＋18＝30.
同源变式
变式1 解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48(种)排法，对应48个三位偶数．
变式2 解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
2．解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每名学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．
3．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．
考点三 两个计数原理的综合应用(高考热度：★★)
考向1 与数字有关的问题
[例3] 解析：0，1，2，…，9共组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
考向突破
1．解析：当不含偶数时，有A＝120(个)；当含有一个偶数时，有CCA＝960(个)，所以这样的四位数共有1 080个．
考向2 与几何有关的问题
[例4] 解析：在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．
考点突破
2．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
考向3 涂色问题
[例5]解析：(方法一) 首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
(方法二) 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
新课程标准 考向预测
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 命题角度 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 3.两个计数原理的综合应用
核心素养 数学建模、数学运算
【基础梳理】
基础点一 分类加法计数原理
1．基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．推广形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．
特别提示：分类加法计数原理在使用时注意每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
基础小测
1．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
2．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则点(x，y)的个数为 ( )
A．10 B．12
C．14 D．15
基础点二 分步乘法计数原理
1．基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．
2．推广形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
特别提示：分步乘法计数原理在使用时注意每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．
基础小测
1．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目．如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210
C．336 D．120
2．小刚同学要从6个不同的人文课外活动小组和4个不同的自然课外活动小组中各选择一个参加，则他有不同的选择方法数为( )
A．4 B．6
C．10 D．24
【考点突破】
考点一 分类加法计数原理(高考热度：★)
[例1] 从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
同源变式
将上题改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到logab的不同值的个数为( )
A．9 B．10
C．13 D．16
考点微练
1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
解题技法
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
考点二 分步乘法计数原理(高考热度：★)
[例2] (1) 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )
A．6 B．12
C．24 D．36
(2) 有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
(3) (2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)
解题技法
利用分步乘法计数原理解决问题的策略
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．
考点微练
1．从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．
同源变式
变式1 将上题改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．
变式2 将上题改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．
3．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
考点三 两个计数原理的综合应用(高考热度：★★)
考向1 与数字有关的问题
[例3] (2019河北衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
技法点拨
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．
考向突破
1．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．
考向2 与几何有关的问题
[例4] 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18 C．24 D．36
考点突破
2．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．
考向3 涂色问题
[例5] (2019山东青岛质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
技法点拨
解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．
归纳点拨
利用分步乘法计数原理解题时需注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
参考答案
【基础梳理】
基础点一 分类加法计数原理
基础小测
1．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种；若脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；若脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；若脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种．综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．故选C.
2．解析：按x分类：当x＝1时，y＝1，2，3，4，5；当x＝2时，y＝1，2，3，4；当x＝3时，y＝1，2，3；当x＝4时，y＝1，2；当x＝5时，y＝1，所以共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．故选D.
基础点二 分步乘法计数原理
基础小测
1．解析：分三步，先插一个新节目，有7种方法；再插第二个新节目，有8种方法；最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝504(种)不同的插法．故选A.
2．解析：各选择一个小组参加，可以分为两个步骤完成．第一步从人文课外活动小组选择一个，有6种不同选法；第二步从自然课外活动小组选择一个，有4种不同选法．根据分步乘法计数原理知，共有6×4＝24(种)不同选法．故选D.
【考点突破】
考点一 分类加法计数原理(高考热度：★)
[例1] 解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
同源变式
解析：显然a≠1，当a＝2，3，4，9，b＝1时，有logab＝0，1个；当a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；当a＝3，b＝2，4，9时，有log32，log34，log39＝2(舍去)，2个；当a＝4，b＝2，3，9时，有log42＝，log43，log49＝log23(舍去)，2个；当a＝9，b＝2，3，4时，有log92，log93＝(舍去)，log94＝log32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9(个)．
考点微练
1．解析：当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
考点二 分步乘法计数原理(高考热度：★)
[例2] (1) 答案：A
解析：确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；
第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
(2) 答案：120种
解析：每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
(3) 答案：144
解析：分两步完成：①《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有A种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有A种；②《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有AA＝144(种)．
考点微练
1．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位，若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12(种)．若2或4在个位，个位数字有2种排法．再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法，共有2×(1×3＋3×2)＝18(种)，故偶数的个数为12＋18＝30.
同源变式
变式1 解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48(种)排法，对应48个三位偶数．
变式2 解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
2．解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每名学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．
3．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．
考点三 两个计数原理的综合应用(高考热度：★★)
考向1 与数字有关的问题
[例3] 解析：0，1，2，…，9共组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
考向突破
1．解析：当不含偶数时，有A＝120(个)；当含有一个偶数时，有CCA＝960(个)，所以这样的四位数共有1 080个．
考向2 与几何有关的问题
[例4] 解析：在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．
考点突破
2．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
考向3 涂色问题
[例5]解析：(方法一) 首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
(方法二) 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．