人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 两个计数原理与排列、组合课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
习题课　两个计数原理与排列、组合
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.进一步深化排列与组合的概念.
3.能综合运用排列、组合解决计数问题.
题型探究
达标检测
学习目标
类型一　两个计数原理的应用
角度1　“类中有步”的计数问题
例1　电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_____种不同的选择.
解析答案
反思与感悟
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
解析　在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400(种)结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果.
因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种).
答案　28 800
反思与感悟
反思与感悟
用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示.
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.
解析答案
跟踪训练1　现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
解析　将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.
因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，
因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.
故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.
故选D.
D
解析答案
角度2　“步中有类”的计数问题
例2　有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答).
反思与感悟
解析　上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；
我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目.
若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；
若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，
即下午的测试方法共有11种，
根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种).
答案　264
反思与感悟
用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
反思与感悟
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类.
其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法.
解析答案
跟踪训练2　如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有(　　)
A.11 B.12
C.20 D.21
解析　根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，
若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，
对于开关1、2，共有2×2＝4(种)情况，
其中全部断开的有1种情况，
则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，
对于开关3、4、5，共有2×2×2＝8(种)情况，
其中全部断开的有1种情况，
则其至少有1个接通的8－1＝7(种)情况，
则电路接通的情况有3×7＝21(种).故选D.
答案　D
解析答案
类型二　排列与组合的综合应用
角度1　不同元素的排列、组合问题
例3　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
反思与感悟
解　分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，
反思与感悟
1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
2.解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.
(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3　从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
解析答案
解　(1)五位数中不含数字0.
(2)五位数中含有数字0.
第2步，排顺序又可分为两小类：
∴符合条件的偶数个数为
解析答案
角度2　含有相同元素的排列、组合问题
例4　将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，共有____种不同的分配方案.
解析　先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个.
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反思与感悟
凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有 种，即将n个元素中间的n－1个空格中加入m－1个“隔板”.
(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有
种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”.
反思与感悟
跟踪训练4　用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_____.
解析　用间接法：六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216(个)，
故所求的三位数的个数为216－120＝96.
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解析答案
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达标检测
1.某电话局的电话号码为168 ，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有(　　)
A.20个 B.25个
C.32个 D.48个
1
2
3
4
C
答案
* * * * *
解析答案
2.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是(　　)
A.152 B.126 C.90 D.54
解析　按从事司机工作的人数进行分类：
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
B
1
2
3
4
解析答案
3.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有___种.
解析　先安排后2个，再安排前3个，
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1
2
3
4
解析答案
4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有___种.
∴共有10种不同的放球方法.
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1
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3
4
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规律与方法
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.
2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理.
3.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.
4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.