人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列与排列数---第一课时》名师课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
复习引入
在上一节中我们看到,用分步乘法计数原理解决问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢
人教A版同步教材名师课件
排列与排列数
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合实例,归纳出排列的概念,并能运用排列的概念判断具体的计数问题是否是排列问题 数学抽象
理解利用分步乘法计数原理推导排列数公式的过程,并会进行排列数的计算 数学运算
能够利用排列的知识解决与计数有关的问题 数学运算
学习目标
学习目标：
1.了解基本计数原理与排列的关系．　
2.理解排列的概念及排列数公式．
3．能用排列的概念、排列数公式解决一些简单的实际问题．
学科核心素养：
1.经历运用分步乘法计数原理推导排列数公式的过程,发展学生的数学抽象核心素养.
2.在利用排列数公式解决计数问题的过程中,发展学生的数学运算核心素养.
探究新知
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法？
问题2：从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？
上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
探究新知
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
问题1：第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名,有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学,有2种方法
根据分步计数原理： 即共6种方法.
探究新知
问题2：从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？
有此可写出所有的三位数：
123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432.
探究新知
1、排列：
说明：
1、元素不能重复.个中不能重复,个中也不能重复.
2、 “按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键.
3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同.
4、时的排列叫选排列,时的排列叫全排列.
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用“树形图”.
一般地,从个不同中取出()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
探究新知
2、排列数：
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数.用符号表示.
“一个排列”是指：从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;
“排列数”是指从从个不同元素中,任取个元素所有排列的个数,是一个数;所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.
典例讲解
例1、判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信．
(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题．
解析
典例讲解
例1、判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信．
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．
解析
　
方法归纳
判断所给问题是否为排列问题,关键是看与顺序有无关系.在具体问题中取出的元素与顺序有无关系,由问题的条件和性质决定,分清问题的性质是作出正确判断的前提和关键．
变式训练
1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动;③从中选出3个字母;④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有(　 　)
A．1个　　　B．2个 C．3个 D．4个
由排列的定义知①④是排列问题．
B
解析
探究新知
……
第1位
第2位
第3位
第m位
n种
(n-1)种
(n-2)种
(n-m+1)种
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数,记为,已经算得
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,记为,已经算出
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少 呢？ 呢？
探究新知
(1)排列数公式（1）：
;
当时,
(2)排列数公式（2）：
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明.
为了使当时上面的公式也成立,规定：
正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.个不同元素的全排列公式：
2、对于这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件.
典例讲解
(2)证明：左边
·
· 右边．故原式成立．
例2．(1)计算： ;(2)求证： ＝1.
(1)
.
解析
方法归纳
（1）,其中,且,其特点为连续的个正整数的乘积,最大的正整数为,当个不同元素全部取出的一个排列,叫做个元素的全排列,这时
(2)该公式可变形为：.(规定)
变式训练
解析
2.(1)化简:
(2)求证:
(1)∵,
∴原式
(2)∵,
∴
∴原式得证．
典例讲解
例3. 从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？
从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是．
解析
　
方法归纳
对简单的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这类问题相对简单,分清元素和位置即可．
变式训练
要确定一种车票,即是从四个车站中任意选出2个车站,按起点站在前、终点站在后进行排列,共有种不同的排法,即共有种不同的车票,由排列数公式可得＝4×3＝12.
3.沿途有4个车站,求这四个车站之间需要准备不同车票的种数．
解析
素养提炼
(1)排列数的第一个公式适用已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点,从起连续写出个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式再计算．
当堂练习
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④　　　B．①② C．④ D．①③④
A
2.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为________．
720
3.(1)用排列数表示＋且;
(2)计算;
(3)求证.
当堂练习
(1)因为55－n,56－n,…,69－n中的最大数为69－n,且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素,所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝.
(2)
＝1.
解析
当堂练习
3.(1)用排列数表示＋且;
(2)计算;
(3)求证.
(3)证明：法一：因为
,
所以
法二： 表示从个元素中取出m个元素的排列个数,其中不含元素a1的有个．含有a1的可这样进行排列：先排a1,有m种排法,再从另外n个元素中取出个元素排在剩下的个位置上,有种排法．故＝m ＋ ,所以.
解析
归纳小结
排列问题,是取出个元素后,还要按一定的顺序排成一列,取出同样的个元素,只要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列．
作 业
课本P17页练习:3
P20页练习:3