人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列与组合》能力探究课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
人教A版同步教材名师课件
排列与组合
---能力探究
利用排列解决问题
1.数字排列问题
(1)①直接法;②排除法.
(2)数字排列问题的解题原则
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上,或某个位置不排某些元素;解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时,应分类讨论.
注意:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
简单问题解决能力
2.排队、排节目问题
(1)优先考虑特殊元素.
(2)捆绑法排列.
(3)插空法排列.
简单问题解决能力
3.排队、排节目问题
(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
简单问题解决能力
注意:处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
简单问题解决能力
4.综合应用
(1)元素的“在”与“不在”问题
①原则:解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时,可以从元素入手也可以从位置入手,原则是谁特殊谁优先.
②方法:从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.
注意:解题时,或从元素考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底,不能一会儿考虑元素,一会儿考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.
简单问题解决能力
(2)固定顺序排列问题
这类问题的解法是采用分类法:个不同元素的全排列有种排法,个元素的全排列有种排法.因此种排法中,关于个元素的不同分法有类,而且每一分类的排法数是一样的,当这个元素顺序确定时,共有种排法.
简单问题解决能力
典型例题
典例1-1、用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数.
思路
本题根据数字排列问题的“优先”原则,通过逻辑推理,运算对简单问题进行解决.即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时,应分类讨论.
逻辑推理、数学运算
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,所以五位数的个数为;第二类:0不在十位位置上,根据分步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为.符合条件的五位数共有(个).
解析
典型例题
典例1-2、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
思路
本能根据元素不相邻问题的解题思路,进行逻辑推理,解决简单问题.一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.
逻辑推理、数学建模
典型例题
典例1-2、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
逻辑推理、数学建模
(1)先排歌唱节目有种,歌唱节目之间以及两端共有6个空位,从中选4个放入舞蹈节目,共有种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有(种)方法.
(2)先排舞蹈节目有种方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入,所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有(种)方法.
解析
典型例题
典例1-3、有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法
思路
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数;也可先排无限制条件的元素,再按顺序安排特殊元素;还可先排特殊元素,再将无限制条件的元素逐个插入.
逻辑推理
典型例题
典例1-3、有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法
逻辑推理
方法一(整体法) 7名学生的排列方法共有种,其中女生的排列方法有种,从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故不同的排法共有(种).
方法二(空位插空法) 设想有7把椅子让4名男生去坐,共有种方法,3名女生坐剩余的空位,3名女生从左到右,从矮到高的排列只有一种,故不同的坐法共有(种).
解析
典型例题
典例1-3、有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法
逻辑推理
方法三(逐步插空法) 先将3名女生按顺序排好,形成4个空位,第一名男生选一个空位站好,有4种站法,排好的这4名学生形成5个空位,再排第二名男生,以此类推逐步完成,由分步乘法计数原理得,不同的排法共有(种).
解析
利用组合解决问题
简单问题理解能力
1.无限制条件的组合问题.
2.有限制条件的组合问题:常见的限制条件及解题方法
(1)特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.
(2)含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
简单问题理解能力
3.几何组合问题.
4.分组、分配问题
分组、分配问题属于“组合”问题,常见的三种分组问题:
(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等.
(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有组均匀,最后必须除以.
(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
典型例题
典例2、大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
本题为有条件限制的组合问题需要分类讨论.通过建模思维对简单问题进行运算和解决.根据题意,分两种情况讨论:
(1)家庭的孪生姐妹在甲车上,有(种)乘坐方式;
(2)家庭的孪生姐妹不在甲车上,有(种)乘坐方式,故共有(种)乘坐方式.
解析
数学运算、数学建模
B
综合问题解决能力
排列与组合综合问题
1.相邻问题
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列.
2.相间问题
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空档中.
综合问题解决能力
3.特殊元素问题
通常采用“元素分析”法,即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素.
4.特殊位置问题
通常采用“位置分析”法,即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置.
特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.
典型例题
典例3、北京APEC峰会期间,有2位女性和3位男性,共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
数学运算、数学建模
C
本题为排列与组合问题的综合应用,解决本题需利用“捆绑法”和“插空法”进行运算求解.
从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作共有(种)不同排法,剩下1位男性领导人记作位女性分别记作甲、乙.因为女领导人甲必须在之间,此时共有(种)排法(左右和右左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以共有(种)不同排法.
解析