人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列与组合》知识探究课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
人教A版同步教材名师课件
排列与组合
---知识探究
一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
探究点1 排列
1.排列的定义包括三个方面:
(1)排列的对象两两不相同;
(2)取出元素;
(3)按一定的顺序排成一列,根据这三个方面进行判断即可.
2.相同排列的两个条件:
(1)两个排列的元素完全相同.
(2)元素的排列顺序相同.
要点辨析
3.解决问题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序有关”.
4.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
要点辨析
典例1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法 若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法
(2)从集合中,任取两个元素作为,可以得到多少个焦点在
轴上的椭圆方程 可以得到多少个焦点在轴上的双曲线方程

(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线 可确定多少条射线
推测解释能力、概括理解能力
典型例题
解析
(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
典型例题
思路
解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列定义的理解,来推断题目是不是排列,排列的定义包括三个方面:(1)排列的对象两两不相同;(2)取出元素;(3)按一定的顺序排成一列.根据这三个方面进行判断即可.
探究点2 排列数、排列数公式及其性质
1.排列数把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
2.排列数公式
连乘形式:.
阶乘形式:.
3.性质
(1)
(2) .
要点辨析
1.排列数公式的形式及选择方法
(1)排列数的第一个公式适用于已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.
(2)排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等.
要点辨析
2.排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.
(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
典例2 (1)用排列数表示且;
(2)求证:.
分析计算能力
典型例题
思路
本题要求学生能根据排列数公式的逆用,进行计算与证明.(1)连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式,应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典例2 (1)用排列数表示且;
(2)求证:.
分析计算能力
典型例题
解析
(1) 中的最大数为,且共有(个)元素,
.
证明:(2) ,
.
探究点3 组合
一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
要点辨析
1.组合要求个元素是不同的,被取的个元素也是不同的,即从个不同的元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的特点.
3.辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
4.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来.
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合,则集合的子集中含有3个元素的有多少个
(2)2020年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张
简单问题解决能力
典型例题
思路
解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合,则集合的子集中含有3个元素的有多少个
(2)2020年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张
简单问题解决能力
典型例题
解析
(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.
(2)甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:.
阶乘表示:.
(2)性质:.
(3)规定:.
要点辨析
1.组合数计算公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用公式计算.
(2)涉及字母的可以用阶乘式计算.
(3)计算时应注意利用组合数的性质简化运算.
要点辨析
2.组合数与相应排列数的关系
组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式的主要作用有:
(1)计算较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当时计算,用性质转化,减少计算量.
典例4 式子可表示为( )
A. B. C. D.
分析计算能力、概括理解能力
典型例题
解析
本题根据组合数的特点及其公式进行概括理解和分析计算.
解决本题是根据组合数公式,其中最大的是元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是组合数公式的逆用.
分式的分母是,分子是个连续自然数的乘积,最大的为,最小的为.
故.
D
典例4-2 求值:.
分析计算能力、概括理解能力
典型例题
解析
由组合数定义知:所以.
又因为,所以或.
当时, ;
当时, .
思路
解决本题是根据组合数的定义中,特别地,当时计算,用性质转化,减少计算量.