人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《组合与组合数---习题课》名师课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
复习引入
1、组合定义:
2、组合数:
一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示.
复习引入
3、组合数公式:
我们规定:
性质1
性质2
人教A版同步教材名师课件
组合与组合数
---习题课
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解并掌握解决排列组合实际问题的一般方法,对不同题型能够找到一种恰当的解答方法 数学运算
会分析问题、认识问题和创造性地解决问题 逻辑推理
学习目标
学习目标:
1.会常见排列组合问题题型的归纳求解．　
2.能利用组合的概念及组合数公式解决实际问题．
学科核心素养:
1.通过对生活中的排列组合问题探究的过程,发展学生的逻辑推理核心素养
2.通过探究与活动,使学生明白考虑问题要细致,说理要明确,发展学生的数学抽象与数学运算核心素养
典例讲解
例1、在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件,
(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以不同抽法的种数为.
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为6.
解析
典例讲解
例1、在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件,
(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
(3)法一:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为.
法二:抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数,即.
解析
　
方法归纳
(1)本题含“至多” “至少”,故分类或分步是关键．
(2)解答有限制条件的组合的方法:
①直接法:优先考虑特殊元素的选取,再考虑其他元素的选取．
②间接法:正面情况分类较多时,从反面入手, “正难则反”．
变式训练
1.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选．(2)至多有两名女生当选．(3)既要有队长,又要有女生当选．
(1)至少有一名队长含有两种情况:有一名队长和两名队长,故共有种．或采用排除法有种．
(2)至多有两名女生含有三种情况:有两名女生、只有一名女生、没有女生,故共有种．
(3)分两种情况:
第一类:女队长当选,有种;
第二类:女队长不当选,有种．
故共有种．
解析
典例讲解
(1)根据分步乘法计数原理得到＝90(种)．
(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有种方法,这个过程可以分两步完成:
第一步分为三份,每份两本,设有x种方法;
第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得,所以.
因此分为三份,每份两本一共有15种方法．
例2、6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本．
解析
方法归纳
(1)解决这类问题的关键是分清分组问题还是分配问题．
(2)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等．
②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以.
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象．
(3)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配．
2．本例条件不变,问题变为以下情况该如何求解:
(1)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(2)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本．
变式训练
(1)分三步:第一步,先拿出一本共有种方法．
第二步,从剩余5本中拿2本有种方法．
第三步,剩余3本为一组．
故共有种方法．
解析
2．本例条件不变,问题变为以下情况该如何求解:
(1)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(2)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本．
变式训练
(2)可以分三类情况:
①每人2本,共有＝90种．
②一人1本,一人2本,一人3本,共有＝360种方法．
③两人各一本,一人4本,共有＝90种方法．
故共有90＋360＋90＝540种方法．
解析
典例讲解
例3、是两个平行平面,在内取四个点,在内取五个点．
(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？
(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？
(1)在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所确定的平面和直线才能达到最多,此时,最多能确定直线(条)．又因为三个不共线的点确定一个平面,故最多可确定个平面．
(2)同理,在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作个三棱锥．
解析
方法归纳
解与几何有关的问题,基本思路有两种:
一是考虑用特殊元素去分类,用直接法求解;
二是间接法,在所有的取法中,去掉不符合题意的取法(如共线三点不能构成三角形),这两种方法,都应熟练掌握．
变式训练
3．已知的边上有5个点,边上有6个点,用这些点和点为顶点,能构成多少个不同的三角形？
法一:以为三角形顶点,其余两顶点分别在和上取,能构成=30个三角形;不为顶点,又可分为两类,即在上取两点,上取一点,或在上取一点上取两点,则能构成个三角形.因此构成不同的三角形共有30+135=165（个）
法二:从12个点中任取3个点的取法有种,其中,不能构成三角形的三点有两类,上6个点中任取三点,或上7个点中任取三点,分别有和种,因此,能构成不同的三角形共有（个）
解析
例4、从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
(1)五位数中不含数字0.
第1步,选出5个数字,共有种选法.
第2步,排成偶数——先排末位数,有种排法,再排其他四位数字,有种排法.
∴N1＝ ·
(2)五位数中含有数字0.
第1步,选出5个数字,共有种选法.
典例讲解
解析
例4、从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
第2步,排顺序又可分为两小类:
①末位排0,有·种排列方法;
②末位不排0.这时末位数有种选法,而因为零不能排在首位,所以首位有种排法,其余3个数字则有种排法．
∴＝(·＋·).
∴符合条件的偶数个数为
4 560.
典例讲解
解析
讨论五位数中含“0”与否,是解答本题的关键．
末位排0与否,应分类讨论,否则极易出错．
本题是分类情况下的分步排列、组合问题,必须将所讨论的各种结果相加,否则会丢分．
解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响,并注意总结、避免因考虑问题不全面而失分.
方法归纳
变式训练
3．用0,1,2,3,4,5这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的五位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？
(1)法一:(直接法)
从1,2,3,4,5这五个数字中任取一个作万位,有种;从余下的5个数字中选4个排在后四位,有种,由分步乘法计数原理,共有个．
法二:(间接法)
不考虑任何限制,共有种,而0作首位时,有种,故适合题意的数字个数为
解析
变式训练
3．用0,1,2,3,4,5这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的五位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？
(2)一个数是否为奇数取决于个位数字,所以个位为特殊位置,又0不能排在首位,所以0为特殊元素,应优先考虑,有＝288个．
(3)能被5整除的五位数,其个位数字是0或5.
当个位数字是0时,共有个;
当个位数字是5时,共有个,由分类加法计数原理,符合题意的数字共有＝216个．
解析
素养提炼
1．分组、分配问题的求解策略
常见形式 处理方法
非均匀不 编号分组
均匀不编 号分组
非均匀 编号分组
均匀编 号分组
素养提炼
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将个相同的元素分给个不同的对象,有种方法．可描述为个空中插入块板．
(1)先特殊后一般;
(2)先组合后排列;
(3)先分类后分步．
2.相同元素分配问题的处理策略
3.解决先选后排问题时,应遵循三大原则
当堂练习
1．(1)某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门．学校规定,每位同学选修4门,共有________种不同选修方案(用数字作答);
(2)某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为(　　)
A．14　　　　　　　　 B．24
C．28 D．48
75
A
当堂练习
2、将4个不同的球放入4个不同的盒子内,
(1)共有几种放法？
(2)恰有一个盒子未放球,共有几种放法？
(3)恰有两个盒子未放球,共有几种放法？
(1)分四步,每步放一球,每球都有4种独立的放法,所以由分步乘法计数原理知,共有44＝256种不同的放法．
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去1个,有种方法,再考虑有两个球必放在一个盒子里,从4个球中选出2个球有种方法,从三个盒中选出1个放入这两球有种方法,剩余2个球2个盒子全排列有种方法．由分步乘法计数原理,共有放法＝144(种)．
解析
当堂练习
2、将4个不同的球放入4个不同的盒子内,
(1)共有几种放法？
(2)恰有一个盒子未放球,共有几种放法？
(3)恰有两个盒子未放球,共有几种放法？
解析
(3)先从四个盒子中任意取走两个有种,问题转化为“4个球,两个盒子,每盒必放球有几种放法”．从放球数目上看,可分为(3,1),(2,2)两类．
第一类:可从4个球中先选出3个,然后放入指定的一个盒子即可,有种放法;
第二类:有种放法．因此共有＋＝14(种)．
由分步乘法计数原理,恰有两个盒子不放球的放法有·14＝84(种)．
归纳小结
解决组合应用题的基本思想是“化归”,即由实际问题来建立组合模型,再由组合数公式来计算其结果,从而得出实际问题的解．
(1)建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序,有顺序便不是组合问题．
(2)解组合应用题的基本方法仍然是“_____________”和“_____________”．
(3)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的两个公式以及性质的运用．
直接法
间接法
1．组合应用题
归纳小结
求解排列、组合的综合问题时,首先要认真审题,只有认真审题,才能把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序．
(1)解排列、组合的综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合的综合问题时要注意以下几点:
要求有序是排列,与序无关是组合;两个公式两性质,两种思想和方法;排列组合在一起,先选后排是常理;特殊元素和位置,首先注意多考虑;不重不漏多思考,捆绑插空是技巧
2．排列、组合的综合应用
作 业
P26习题6.2：5、6