人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.2.4_组合数课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
6.2.4　组　合 数
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题.
题型探究
达标检测
学习目标
解析答案
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　简单的组合应用题
例1　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
解析答案
(2)至少有1名女运动员；
解　方法一　(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
解析答案
反思与感悟
(3)既要有队长，又要有女运动员.
反思与感悟
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
解析答案
跟踪训练1　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必需参加；
解　甲、乙、丙三人必须参加，
则只需从另外9人中选2人，是组合问题，
解析答案
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
解　甲、乙、丙三人不能参加，
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.
解　甲、乙、丙三人只能有1人参加，
解析答案
类型二　与几何有关的组合应用题
例2　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
反思与感悟
解　方法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.
第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，
第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，
第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个).
解析答案
反思与感悟
而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，
反思与感悟
1.几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.
2.解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.
3.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
解　(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，
除点A外都有5个点，
含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.
根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有 ＋3＝33(种).
解析答案
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.
除去4点共面的取法种数可以得到结果.
从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.
有 ＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，
从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，
解析答案
类型三　分组、分配问题
角度1　不同元素分组、分配问题
例3　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
解析答案
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
解　由于甲、乙、丙是不同的三个人，
在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题.
解析答案
(3)分成三组，每组都是2本；
但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，
若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，
则该种方法记为(AB，CD，EF)，
解析答案
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.
解　在(3)的基础上再分配即可，
反思与感悟
分组、分配问题的求解策略
反思与感悟
常见形式 处理方法
非均匀不编号分组 n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：
均匀不编号 分组 将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 (其中A为非均匀不编号分组中的分法数).如果再有k组均匀组应再除以 .
反思与感悟
非均匀编号分组 n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 .
均匀编号分组 n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为 .
解析答案
跟踪训练3　将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有____种.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).
12
解析答案
角度2：相同元素分配问题
例4　6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，
求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
解　先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，
解析答案
(2)恰有一个空盒子；
解　恰有一个空盒子，插板分两步进行.
先在首尾两球外侧放置一块隔板，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，
解析答案
(3)恰有两个空盒子.
解　恰有两个空盒子，插板分两步进行.
先在首尾两球外侧放置一块隔板，
并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，
反思与感悟
反思与感悟
相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有 种方法.可描述为n－1个空中插入m－1块板.
跟踪训练4　某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A.4种 B.10种
C.18种 D.20种
解析答案
返回
解析　由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析.
又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取.
第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册.
即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，
第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，
即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，
答案　B
返回
解析答案
达标检测
1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)
1
2
3
4
B
解析答案
2.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)
A.36种 B.48种
C.96种 D.192种
C
1
2
3
4
解析答案
3.直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，...,5)组成的图形中，矩形共有(　　)
A.25个 B.36个
C.100个 D.225个
解析　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，
在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，
D
1
2
3
4
解析答案
4.要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，有_____种不同选法.
解析　方法一　可分三类：
方法二　先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，
756
1
2
3
4
规律与方法
1.无条件限制的组合应用题.其解题步骤为：
(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答.
2.有限制条件的组合应用题：
(1)“含”与“不含”问题：
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
返回
(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.