人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--排列数》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--排列数》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 10:33:58 | ||
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文档简介
《排列数》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第2课时（6.2.2排列数）
（一）教学内容
排列数的定义和表示，排列数公式.
（二）教学目标
1.能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.
2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数.
（三）教学重点与难点
重点：排列数公式.
难点：排列数公式的应用.
（四）教学过程设计
1.公式的引入
问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
师生活动：（1）为了便于表达和计算排列个数，教师可以先给出排列数的定义和表示：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示.
（2）用排列数符号表示6.2.1节问题1、问题2的排列数，并说明排列数与排列有何区别.
（3）分别算出6.2.1节问题1、问题2的排列数，它们有什么共同之处？
设计意图：结合6.2.1节已解决的具体问题1、问题2，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫.
2，公式的推导
问题2：从个不同元素中取出个元素的排列数（）是多少？
追问（1）：我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数，问题2的排列数，那么如何求排列数和？
师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数的经验，求排列数.解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到.
再让学生按照同样的方法，发现求排列数可以按依次填3个空位来考虑，得出.
追问（2）：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？
师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数和的经验，得到：假定有排好顺序的个空位，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式
.
设计意图：通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式.
3.公式的辨析
问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
师生活动：教师引导学生进行以下活动：
（1）观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
（2）比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？
（3）利用排列数公式，计算，并由此给出阶乘的概念.
设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并给出阶乘的概念，规定0！=1.
4.公式的应用
例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
师生活动：教师引导学生思考：
（1）利用排列数公式求各排列数时，与的值分别是多少？右边的因数分别有几个？最后一个因数是几？
（2）如何求
师生共同计算出结果：.
追问：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它进行推广？
师生活动：推广得到公式，并加以证明.
设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.并通过对所求结果共性的归纳总结，得到公式的另一种形式.
课堂练习1 先计算，然后用计算工具检验：
；（2）；（3）；（4）.
课堂练习2 求证：
（1）；（2）.
设计意图：选择合适的排列数公式进行运算和证明，促进学生把握公式的特征，并掌握公式的使用条件.
例2 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
师生活动：（1）这是不是一个排列问题？
（2）引导学生分别按“百位数字不能是0”“0是否出现及出现的位置”“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法.
（3）利用排列数公式计算出结果.
（4）归纳求排列问题的方法：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果.
设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.
课堂练习3 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决排列问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.
5.课堂小结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别.
（2）排列数公式是如何推导的？
（3）如何解决排列问题？应用排列数公式时需要注意什么？
设计意图：通过问题形式，明确排列数的概念，回顾排列数公式的推导，总结解决排列问题的一般方法.
6.布置作业
教科书习题6.2第1，8，11，19题.
（五）目标检测设计
填空：1~7这7个数分别对应7个不同的音符，如果从这7个数中随机地选5个数，那么所选的数对应的音符可以产生的音乐共有 段.
设计意图：考查学生对排列数概念的了解和排列数公式的应用.
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一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第2课时（6.2.2排列数）
（一）教学内容
排列数的定义和表示，排列数公式.
（二）教学目标
1.能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.
2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数.
（三）教学重点与难点
重点：排列数公式.
难点：排列数公式的应用.
（四）教学过程设计
1.公式的引入
问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
师生活动：（1）为了便于表达和计算排列个数，教师可以先给出排列数的定义和表示：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示.
（2）用排列数符号表示6.2.1节问题1、问题2的排列数，并说明排列数与排列有何区别.
（3）分别算出6.2.1节问题1、问题2的排列数，它们有什么共同之处？
设计意图：结合6.2.1节已解决的具体问题1、问题2，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫.
2，公式的推导
问题2：从个不同元素中取出个元素的排列数（）是多少？
追问（1）：我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数，问题2的排列数，那么如何求排列数和？
师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数的经验，求排列数.解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到.
再让学生按照同样的方法，发现求排列数可以按依次填3个空位来考虑，得出.
追问（2）：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？
师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数和的经验，得到：假定有排好顺序的个空位，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式
.
设计意图：通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式.
3.公式的辨析
问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
师生活动：教师引导学生进行以下活动：
（1）观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
（2）比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？
（3）利用排列数公式，计算，并由此给出阶乘的概念.
设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并给出阶乘的概念，规定0！=1.
4.公式的应用
例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
师生活动：教师引导学生思考：
（1）利用排列数公式求各排列数时，与的值分别是多少？右边的因数分别有几个？最后一个因数是几？
（2）如何求
师生共同计算出结果：.
追问：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它进行推广？
师生活动：推广得到公式，并加以证明.
设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.并通过对所求结果共性的归纳总结，得到公式的另一种形式.
课堂练习1 先计算，然后用计算工具检验：
；（2）；（3）；（4）.
课堂练习2 求证：
（1）；（2）.
设计意图：选择合适的排列数公式进行运算和证明，促进学生把握公式的特征，并掌握公式的使用条件.
例2 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
师生活动：（1）这是不是一个排列问题？
（2）引导学生分别按“百位数字不能是0”“0是否出现及出现的位置”“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法.
（3）利用排列数公式计算出结果.
（4）归纳求排列问题的方法：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果.
设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.
课堂练习3 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决排列问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.
5.课堂小结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别.
（2）排列数公式是如何推导的？
（3）如何解决排列问题？应用排列数公式时需要注意什么？
设计意图：通过问题形式，明确排列数的概念，回顾排列数公式的推导，总结解决排列问题的一般方法.
6.布置作业
教科书习题6.2第1，8，11，19题.
（五）目标检测设计
填空：1~7这7个数分别对应7个不同的音符，如果从这7个数中随机地选5个数，那么所选的数对应的音符可以产生的音乐共有 段.
设计意图：考查学生对排列数概念的了解和排列数公式的应用.
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