人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--组合》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--组合》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 10:34:21 | ||
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文档简介
《组合》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第3课时（6.2.3组合）
（一）教学内容
组合的概念.
（二）教学目标
通过解决实际的计数问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系.
（三）教学重点与难点
重点：组合的定义.
难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义.
（四）教学过程设计
1.概念的引入
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
师生活动：可以根据学生的具体情况，选择下列合适的问题引导学生对问题1进行分析：
（1）问题1中要完成的“一件事情”是什么？比较6.2.1节问题1与本节问题1中要完成的
“一件事情”，它们有什么异同？
（2）列出问题1的各种不同选法，与6.2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？
设计意图：既检测了分析解决排列问题的情况，又在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作准备.
2.概念的形成
问题2：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问题1？
你能将它推广到一般情形吗？
师生活动：如果学生作上述归纳有困难，可引导他们思考下列问题：
（1）在6.2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，应该如何表述本节问题1呢？
（2）在6.2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出（）个不同元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？
在问题2的基础上，给出组合的定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
师生活动：可引导学生结合下列具体问题进行思考：
（1）列出6.2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
（2）对比本节问题1与6.2.1节问题1，它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关？
本节问题1的组合个数与6.2.1节问题1的排列数有何关系？
（3）“从个不同元素中取出个元素的组合”与“从个不同元素中取出个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
追问：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键解决问题.
在教学中，还可以让学生举出不同的具体实例，并说明这些例子是否属于组合问题，通过这些实例增强对组合的认识.
设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问题，厘清排列与组合的联系和区别，进一步明确组合的概念.
3.概念的巩固
例平面内有4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
师生活动：教师要引导学生判断是排列问题还是组合问题，关键是下面两个问题：
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
设计意图：通过分析和解决具体的排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.
课堂练习1 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方.
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
课堂练习2 已知平面内这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
课堂练习3 现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
设计意图：通过列出具体问题的不同排列或组合，帮助学生巩固并明确组合的概念.
4.课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实例说明：
（1）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
（2）如何求一个组合问题的所有组合个数？
设计意图：通过结合实例反思组合问题的抽象和解决，帮助学生明确组合的概念.
5.布置作业
教科书习题6.2第4，7题.
（五）目标检测设计
填空：多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有 .
设计意图：考查学生对组合概念的理解.
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一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第3课时（6.2.3组合）
（一）教学内容
组合的概念.
（二）教学目标
通过解决实际的计数问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系.
（三）教学重点与难点
重点：组合的定义.
难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义.
（四）教学过程设计
1.概念的引入
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
师生活动：可以根据学生的具体情况，选择下列合适的问题引导学生对问题1进行分析：
（1）问题1中要完成的“一件事情”是什么？比较6.2.1节问题1与本节问题1中要完成的
“一件事情”，它们有什么异同？
（2）列出问题1的各种不同选法，与6.2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？
设计意图：既检测了分析解决排列问题的情况，又在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作准备.
2.概念的形成
问题2：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问题1？
你能将它推广到一般情形吗？
师生活动：如果学生作上述归纳有困难，可引导他们思考下列问题：
（1）在6.2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，应该如何表述本节问题1呢？
（2）在6.2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出（）个不同元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？
在问题2的基础上，给出组合的定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
师生活动：可引导学生结合下列具体问题进行思考：
（1）列出6.2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
（2）对比本节问题1与6.2.1节问题1，它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关？
本节问题1的组合个数与6.2.1节问题1的排列数有何关系？
（3）“从个不同元素中取出个元素的组合”与“从个不同元素中取出个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
追问：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键解决问题.
在教学中，还可以让学生举出不同的具体实例，并说明这些例子是否属于组合问题，通过这些实例增强对组合的认识.
设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问题，厘清排列与组合的联系和区别，进一步明确组合的概念.
3.概念的巩固
例平面内有4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
师生活动：教师要引导学生判断是排列问题还是组合问题，关键是下面两个问题：
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
设计意图：通过分析和解决具体的排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.
课堂练习1 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方.
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
课堂练习2 已知平面内这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
课堂练习3 现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
设计意图：通过列出具体问题的不同排列或组合，帮助学生巩固并明确组合的概念.
4.课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实例说明：
（1）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
（2）如何求一个组合问题的所有组合个数？
设计意图：通过结合实例反思组合问题的抽象和解决，帮助学生明确组合的概念.
5.布置作业
教科书习题6.2第4，7题.
（五）目标检测设计
填空：多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有 .
设计意图：考查学生对组合概念的理解.
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