人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--组合数》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《单元教学--组合数》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 10:34:36 | ||
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文档简介
《组合数》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第4课时（6.2.4组合数）
（一）教学内容
组合数的定义和表示，组合数公式.
（二）教学目标
1.能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数.
2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，利用组合数与排列数的关系，得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数.
（三）教学重点与难点
重点：组合数公式.
难点：推导和应用组合数公式.
（四）教学过程设计
1.公式的引入
问题1：在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了，是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？
师生活动：（1）为了便于表达和计算组合个数，类比排列数，教师同样可以先引入组合数的定义和表示：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，并用符号表示.
（2）用组合数符号表示6.2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.
设计意图：结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念作对比，引入组合数公式.
2.公式的推导
问题2：前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
追问（1）：（1）我们知道，可以利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？
（2）能否用与（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数？
师生活动：我们已经知道，6.2.1节问题1中相同元素的排列有3组，每组的排列数是2，即排列数；而6.2.3节问题1中的每一组都对应着6.2.1节问题1中相同元素的一组排列，且组合数.这样，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数，并且.
追问（2）：依据求组合数和的方法，如何求组合数？
师生活动：求“从个不同元素中取出个元素的排列数，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从个不同元素中取出个元素，共有种不同的取法.
第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有.因此，
.
这里，并且.这个公式叫做组合数公式.
追问（3）：由还可以得到组合数公式的什么形式？
师生活动：因为排列数公式有两种形式，由可以得到组合数公式的另一种形式.
设计意图：通过利用排列数求出具体问题的组合数，由具体到一般，用同样的方法得组合数公式.
3.公式的辨析
问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
师生活动：在解决问题3的过程中，教师可向学生提出以下问题：
（1）与排列数公式比较，二者有什么相似和不同？
（2）在求组合数时，应该如何选择两个公式？
设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并规定.
4.公式的应用
例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
师生活动：在完成例1的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？
（2）分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
设计意图：通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.
课堂练习1 先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）；（4）.
课堂练习2 求证：.
设计意图：选择合适的组合数公式进行运算和证明，促进学生记住公式，并掌握公式的使用条件.
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
师生活动：在完成例2的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）这是一个排列问题还是组合问题？
（2）应该根据什么计数原理解决问题？
（3）能否对同一问题给出不同的方法？
（4）能否归纳求组合问题的一般方法？
设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.
课堂练习3 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.
5.课堂小结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.
（2）组合数公式是如何推导的？
（3）如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？
设计意图：通过问题形式，明确组合数的概念，回顾组合数公式的推导，总结解决组合问题的一般方法.
6.布置作业
根据课堂教学情况，从教科书习题6.2的第2，6，10，12，13，15，16题中选择合适的题目.
（五）目标检测设计
填空：现要将10名队员分为甲、乙两支各5名的队伍，然后安排去参加3场比赛.如果每场比赛只需安排一支队伍参加，那么所有可能参赛的情况种数为 .
设计意图：考查学生对组合数概念的了解和组合数公式的应用.
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一、单元内容及其解析
1.内容
本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.
本单元的知识结构如下：
本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.
2.内容解析
排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.
本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.
（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.
（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.
三、单元教学问题诊断分析
本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.
在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.
本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.
四、课时教学设计
第4课时（6.2.4组合数）
（一）教学内容
组合数的定义和表示，组合数公式.
（二）教学目标
1.能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数.
2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，利用组合数与排列数的关系，得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数.
（三）教学重点与难点
重点：组合数公式.
难点：推导和应用组合数公式.
（四）教学过程设计
1.公式的引入
问题1：在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了，是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？
师生活动：（1）为了便于表达和计算组合个数，类比排列数，教师同样可以先引入组合数的定义和表示：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，并用符号表示.
（2）用组合数符号表示6.2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.
设计意图：结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念作对比，引入组合数公式.
2.公式的推导
问题2：前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
追问（1）：（1）我们知道，可以利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？
（2）能否用与（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数？
师生活动：我们已经知道，6.2.1节问题1中相同元素的排列有3组，每组的排列数是2，即排列数；而6.2.3节问题1中的每一组都对应着6.2.1节问题1中相同元素的一组排列，且组合数.这样，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数，并且.
追问（2）：依据求组合数和的方法，如何求组合数？
师生活动：求“从个不同元素中取出个元素的排列数，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从个不同元素中取出个元素，共有种不同的取法.
第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有.因此，
.
这里，并且.这个公式叫做组合数公式.
追问（3）：由还可以得到组合数公式的什么形式？
师生活动：因为排列数公式有两种形式，由可以得到组合数公式的另一种形式.
设计意图：通过利用排列数求出具体问题的组合数，由具体到一般，用同样的方法得组合数公式.
3.公式的辨析
问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
师生活动：在解决问题3的过程中，教师可向学生提出以下问题：
（1）与排列数公式比较，二者有什么相似和不同？
（2）在求组合数时，应该如何选择两个公式？
设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并规定.
4.公式的应用
例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
师生活动：在完成例1的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？
（2）分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
设计意图：通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.
课堂练习1 先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）；（4）.
课堂练习2 求证：.
设计意图：选择合适的组合数公式进行运算和证明，促进学生记住公式，并掌握公式的使用条件.
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
师生活动：在完成例2的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）这是一个排列问题还是组合问题？
（2）应该根据什么计数原理解决问题？
（3）能否对同一问题给出不同的方法？
（4）能否归纳求组合问题的一般方法？
设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.
课堂练习3 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.
5.课堂小结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.
（2）组合数公式是如何推导的？
（3）如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？
设计意图：通过问题形式，明确组合数的概念，回顾组合数公式的推导，总结解决组合问题的一般方法.
6.布置作业
根据课堂教学情况，从教科书习题6.2的第2，6，10，12，13，15，16题中选择合适的题目.
（五）目标检测设计
填空：现要将10名队员分为甲、乙两支各5名的队伍，然后安排去参加3场比赛.如果每场比赛只需安排一支队伍参加，那么所有可能参赛的情况种数为 .
设计意图：考查学生对组合数概念的了解和组合数公式的应用.
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