人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列数》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列数》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 280.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 10:36:14 | ||
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文档简介
《排列数》教学设计
一、复习引入
判断下面哪些问题是排列问题.
(1)从四名男生中,任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛,有多少种情况
(2)从四名男生中,任选两名同学分别参加上午、下午的比赛,有多少种情况
(3)从0~9这10个数字中,任选4个不同的数字组成一组,有多少种情况
(4)圆上有10个不同的点,过其中2个点画一条弦,有多少种情况
(5)圆上有10个不同的点,以其中2个点画有向线段,有多少种情况
(6)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相乘,有多少个不同的积
(7)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相除,有多少个不同的商
(8)一个学生有20本不同的书,这些书都排在一个单层的书架上,有多少种情况
(9)从53位同学中随机选8位去8个不同的地方参加活动,每个地方派一人,有多少种情况
师生活动:
教师指名学生回答,哪些是排列问题,哪些不是排列问题 为什么
生:第(2)(5)(7)(8)(9)是排列问题,(1)(3)(4)(6)不是排列问题.根据排列的定义判断.
追问:其中这些排列问题各有多少个不同的排列
教师指名学生在黑板上列出计算过程.
追问:你能发现这些计算的共同特点吗 能否把这一类问题用同一种简化的形式表示 这是我们本节课研究的问题.
设计意图:复习上节课学习的排列概念,引导学生进一步理解排列的概念,让学生归纳出值得注意的关键词:(1)n个不同的元素;(2)取出m个元素;(3)一定的顺序排成一列.在此基础上让学生计算排列的个数,引导学生发现规律,引出本节课的课题.
二、揭示规律,导出公式
师生活动:
教师给出排列数的定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
教师提问:表示什么 等于多少
学生思考、讨论、交流.
表示从3个不同元素中取出2个元素的排列个数,;
表示从4个不同元素中取出3个元素的排列个数,;
表示从10个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从8个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从个不同元素中取出2个元素的排列个数.根据前面的经验,可以这样考虑:假定有排好顺序的两个空位,从个不同的元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.完成“填空”这件事可以分两个步骤:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这个不同元素中任选1个,有种选法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的个元素中任选1个,有种选法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种数为.
同理可得.
教师追问:你能通过这种方法得出的表达式吗
学生独立思考分析并展示结果.
.
教师引导学生理解公式:
(1)从开始依次递减连续个正整数的积;
(2)都是正整数,且;
(3)符号表示一个结果,又表示一种运算.
这样,一个问题若是排列问题,就可以用上式求出具体的排列的个数.
说明特例情况,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.于是个元素的全排列数公式可以写成.我们规定,.
设计意图:通过让学生计算一些排列数,结合分步乘法计数原理,得出排列数公式,让学生体会从特殊到一般的思维方法,体会公式的形成过程,感受符号语言的简洁美.
三、强化公式,推导新公式
让学生计算下列排列数:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:根据排列数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4)!.
学生完成计算后,教师提出问题:观察第(3)题,你有没有发现什么规律
学生猜测出一般结论:.
让学生尝试证明并展示,教师点评.
事实上,
设计意图:通过利用排列数公式计算一些排列数,熟悉公式的应用,同时结合运算的过程与运算结果,发现规律,得出排列数的另外一个公式.
四、典型例题
例1 在这7个不同元素组成的全排列中,
(1)在首位的有多少种
(2)前两个位置上依次是的有多少种
(3)前两个位置上是的有多少种
解题思路分析:
(1)先满足特殊元素与特殊位置(首位),把放在首位,有1种方法,再让其余6个元素在其余6个位置上作全排列,有种方法.这两个步骤完成以后,就得到所要求的排列.根据分步乘法计数原理,不同方法种数为.
(2)先把分别放在第一、二个位置上,满足,在前两个位置上(顺序固定),有1种方法;再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有种方法.故不同方法种数为.
(3)先把放在前两个位置上,由于顺序不固定,所以有种方法,再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有种方法.所以方法种数为.
点评:由(1)(2)知,如果要求某一特殊元素必须放在某一特殊位置,那么先把这个元素放在这个特殊位置,这时元素少了1个,位置也少了1个,则问题转化为求的问题,这种情况可以推广到某个元素必须分别在个特殊位置上,其结果是.由(3)知,如果特殊的个元素在特殊的个位置上,又可以变换位置,在这种情况下,完成这一步骤的方法有种,在这一步完成后,完成第二步有种方法.因此,解这类问题的公式是.
例2 从这7个不同元素中取出5个元素的所有排列中,
(1)不在首位的有多少种
(2)既不在首位,又不在末位的有多少种
(3)与既不在首位又不在末位的有多少种
(4)不在首位,同时不在末位的有多少种
解题思路分析:
(1)方法一:首先满足特殊元素不在首位的排列可以分为两类:①不含此时只需从以外的其他6个元素中取出5个放在5个位置上,有种;②含有:不在首位,先从4个位置中选出1个放,再从以外的6个元素中选4个排在没有的位置上,方法种数为.
由分类加法计数原理,得方法种数为2160.
方法二:把位置作为研究对象,第1步满足特殊位置(首位),从以外的6个元素中选1个排在首位,有种方法;第2步,从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法,由分步乘法计数原理,得方法种数为.
方法三:间接法,从总的可能情况中减去不符合要求的情况.不考虑在首位的要求,总的可能情况有种.在首位的,有种,所以符合要求的方法种数为.
(2)把位置作为研究对象,先满足特殊位置,从以外的6个元素中选2个排在首、末两个位置上,有种方法;再从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上,有种方法,由分步乘法计数原理,得方法种数为.
(3)把位置作为研究对象.先从以外的5个元素中选2个排在首、末两个位置,有种方法;再从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位置上,有种方法.由分步乘法计数原理,得方法种数为.
(4)用间接法.总的可能情况是种,减去在首位,同时在末位的种.所以方法种数为.
点评:例2第(1)题给出的三种方法是最常用的,在具体题目中还应该选择适当的方法.因为排列问题对思维的要求很高,所以用不同解法相互检验是防止错误结果的有效方法.
师生共同总结规律:
排列的应用主要是解决与实际问题有关的应用题.
这类问题从条件出发,分两类:一类是没有附加条件的排列问题;一类是有附加条件的排列问题.有附加条件的排列问题主要有两种:一是“在与不在”的问题,就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置;一是“邻与不邻”问题,是指某些元素相邻或不相邻的问题,这类问题常用“捆绑法”或“插空法”求解.
解有附加条件的排列问题的基本思路:从元素出发或从位置出发,称为“元素分析法”“位置分析法”.
解有附加条件的排列问题的基本方法:
一是直接法,先从特殊元素或特殊位置出发,再考虑非特殊元素及非特殊位置,用分步乘法计数原理求解.
二是间接法,先不考虑条件限制,求出排列总数,再求出不满足条件的排列数,前者与后者的差即为问题结论.
设计意图:通过这两道例题,引导学生归纳总结排列问题的解决方法.
五、巩固练习
可表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知,则( )
A.11 B.
C.13 D.14
3.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场分别作为节目的开场诗词,并要求《将进酒》与《望乓》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有( )
A.72种 B.48种
C.36种 D.24种
4.5个人并排站成一行,如果其中的甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数是( )
A.42 B.60
C.72 D.80
___________.
6.用数字组成无重复数字的五位数,其中偶数有___________个(用数字作答).
7.省中学为预防秋季流感爆发,计划安排学生在校内进行常规体检,共有3个检查项目,需要安排在3间空教室里进行检查,学校现有6间空教室供选择使用,但是为了避免学生拥挤,要求作为检查项目的教室不能相邻,则共有___________种安排方式(用数字作答).
答案
1.C(点拨:
2.C(点拨:由得,经检验解得
3.C(点拨:首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列,排法种数为.再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》安排在3个“空”里(最后一个“空”不排),排法种数为,则后六场开场诗词的排法种数为.)
4.C(点拨:先除去甲、乙两人,将剩下的3个人进行全排列,排法种数为,再将甲、乙两人从产生的4个“空”中选2个插入,共种不同的排法.所以5个人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数是
5.348(点拨:.)
6.72(点拨:满足条件的数的个数为)
7.24(点拨:6间空教室,有3间空教室不使用,3间空教室产生4个“空”,故可把作为检查项目的教室插入4个“空”中,故所有不同的安排方式的种数为)
六、课堂小结
1.本节课我们学了哪些基本概念和公式
2.研究过程中体现了哪些数学思想与方法
3.通过本节课的学习你有哪些收获
七、布置作业
教材第20页练习第题.
板书设计:
6.2.2排列数 一、复习引入 二、揭示规律,导出公式 1.排列数的概念 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示 2.排列数的公式 (1) (2)的阶乘:! 三、强化公式,推导新公式 四、典型例题 例1 例2 五、巩固练习 六、课堂小结 七、布置作业
教学研讨:
本案例的设计突出“以人为本”的理念,体现学生的课堂主体地位.以学生认知特点为出发点,关注学生活动,在交流展示中习得新知,将数学知识、数学文化和现实生活有机融合,避免了在抽象出数学概念的过程中学生感到枯燥,同时拓宽了学生的视野.从在生活中发现问题到解决问题的过程,体现了数学来源于生活又服务于生活,体现数学的应用价值.在激发学生数学思维的同时,培养了学生的数学抽象、数学建模核心素养.排列数公式的推证,培养了学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
本案例在利用教材素材的基础上,对例题的选择有所拓展.对于“捆绑法”“插空法”,基础相对薄弱的学生学习时可能会有一定的困难,教师要根据学生的层次与水平选择使用.
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一、复习引入
判断下面哪些问题是排列问题.
(1)从四名男生中,任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛,有多少种情况
(2)从四名男生中,任选两名同学分别参加上午、下午的比赛,有多少种情况
(3)从0~9这10个数字中,任选4个不同的数字组成一组,有多少种情况
(4)圆上有10个不同的点,过其中2个点画一条弦,有多少种情况
(5)圆上有10个不同的点,以其中2个点画有向线段,有多少种情况
(6)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相乘,有多少个不同的积
(7)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相除,有多少个不同的商
(8)一个学生有20本不同的书,这些书都排在一个单层的书架上,有多少种情况
(9)从53位同学中随机选8位去8个不同的地方参加活动,每个地方派一人,有多少种情况
师生活动:
教师指名学生回答,哪些是排列问题,哪些不是排列问题 为什么
生:第(2)(5)(7)(8)(9)是排列问题,(1)(3)(4)(6)不是排列问题.根据排列的定义判断.
追问:其中这些排列问题各有多少个不同的排列
教师指名学生在黑板上列出计算过程.
追问:你能发现这些计算的共同特点吗 能否把这一类问题用同一种简化的形式表示 这是我们本节课研究的问题.
设计意图:复习上节课学习的排列概念,引导学生进一步理解排列的概念,让学生归纳出值得注意的关键词:(1)n个不同的元素;(2)取出m个元素;(3)一定的顺序排成一列.在此基础上让学生计算排列的个数,引导学生发现规律,引出本节课的课题.
二、揭示规律,导出公式
师生活动:
教师给出排列数的定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
教师提问:表示什么 等于多少
学生思考、讨论、交流.
表示从3个不同元素中取出2个元素的排列个数,;
表示从4个不同元素中取出3个元素的排列个数,;
表示从10个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从8个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从个不同元素中取出2个元素的排列个数.根据前面的经验,可以这样考虑:假定有排好顺序的两个空位,从个不同的元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.完成“填空”这件事可以分两个步骤:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这个不同元素中任选1个,有种选法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的个元素中任选1个,有种选法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种数为.
同理可得.
教师追问:你能通过这种方法得出的表达式吗
学生独立思考分析并展示结果.
.
教师引导学生理解公式:
(1)从开始依次递减连续个正整数的积;
(2)都是正整数,且;
(3)符号表示一个结果,又表示一种运算.
这样,一个问题若是排列问题,就可以用上式求出具体的排列的个数.
说明特例情况,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.于是个元素的全排列数公式可以写成.我们规定,.
设计意图:通过让学生计算一些排列数,结合分步乘法计数原理,得出排列数公式,让学生体会从特殊到一般的思维方法,体会公式的形成过程,感受符号语言的简洁美.
三、强化公式,推导新公式
让学生计算下列排列数:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:根据排列数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4)!.
学生完成计算后,教师提出问题:观察第(3)题,你有没有发现什么规律
学生猜测出一般结论:.
让学生尝试证明并展示,教师点评.
事实上,
设计意图:通过利用排列数公式计算一些排列数,熟悉公式的应用,同时结合运算的过程与运算结果,发现规律,得出排列数的另外一个公式.
四、典型例题
例1 在这7个不同元素组成的全排列中,
(1)在首位的有多少种
(2)前两个位置上依次是的有多少种
(3)前两个位置上是的有多少种
解题思路分析:
(1)先满足特殊元素与特殊位置(首位),把放在首位,有1种方法,再让其余6个元素在其余6个位置上作全排列,有种方法.这两个步骤完成以后,就得到所要求的排列.根据分步乘法计数原理,不同方法种数为.
(2)先把分别放在第一、二个位置上,满足,在前两个位置上(顺序固定),有1种方法;再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有种方法.故不同方法种数为.
(3)先把放在前两个位置上,由于顺序不固定,所以有种方法,再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有种方法.所以方法种数为.
点评:由(1)(2)知,如果要求某一特殊元素必须放在某一特殊位置,那么先把这个元素放在这个特殊位置,这时元素少了1个,位置也少了1个,则问题转化为求的问题,这种情况可以推广到某个元素必须分别在个特殊位置上,其结果是.由(3)知,如果特殊的个元素在特殊的个位置上,又可以变换位置,在这种情况下,完成这一步骤的方法有种,在这一步完成后,完成第二步有种方法.因此,解这类问题的公式是.
例2 从这7个不同元素中取出5个元素的所有排列中,
(1)不在首位的有多少种
(2)既不在首位,又不在末位的有多少种
(3)与既不在首位又不在末位的有多少种
(4)不在首位,同时不在末位的有多少种
解题思路分析:
(1)方法一:首先满足特殊元素不在首位的排列可以分为两类:①不含此时只需从以外的其他6个元素中取出5个放在5个位置上,有种;②含有:不在首位,先从4个位置中选出1个放,再从以外的6个元素中选4个排在没有的位置上,方法种数为.
由分类加法计数原理,得方法种数为2160.
方法二:把位置作为研究对象,第1步满足特殊位置(首位),从以外的6个元素中选1个排在首位,有种方法;第2步,从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法,由分步乘法计数原理,得方法种数为.
方法三:间接法,从总的可能情况中减去不符合要求的情况.不考虑在首位的要求,总的可能情况有种.在首位的,有种,所以符合要求的方法种数为.
(2)把位置作为研究对象,先满足特殊位置,从以外的6个元素中选2个排在首、末两个位置上,有种方法;再从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上,有种方法,由分步乘法计数原理,得方法种数为.
(3)把位置作为研究对象.先从以外的5个元素中选2个排在首、末两个位置,有种方法;再从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位置上,有种方法.由分步乘法计数原理,得方法种数为.
(4)用间接法.总的可能情况是种,减去在首位,同时在末位的种.所以方法种数为.
点评:例2第(1)题给出的三种方法是最常用的,在具体题目中还应该选择适当的方法.因为排列问题对思维的要求很高,所以用不同解法相互检验是防止错误结果的有效方法.
师生共同总结规律:
排列的应用主要是解决与实际问题有关的应用题.
这类问题从条件出发,分两类:一类是没有附加条件的排列问题;一类是有附加条件的排列问题.有附加条件的排列问题主要有两种:一是“在与不在”的问题,就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置;一是“邻与不邻”问题,是指某些元素相邻或不相邻的问题,这类问题常用“捆绑法”或“插空法”求解.
解有附加条件的排列问题的基本思路:从元素出发或从位置出发,称为“元素分析法”“位置分析法”.
解有附加条件的排列问题的基本方法:
一是直接法,先从特殊元素或特殊位置出发,再考虑非特殊元素及非特殊位置,用分步乘法计数原理求解.
二是间接法,先不考虑条件限制,求出排列总数,再求出不满足条件的排列数,前者与后者的差即为问题结论.
设计意图:通过这两道例题,引导学生归纳总结排列问题的解决方法.
五、巩固练习
可表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知,则( )
A.11 B.
C.13 D.14
3.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场分别作为节目的开场诗词,并要求《将进酒》与《望乓》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有( )
A.72种 B.48种
C.36种 D.24种
4.5个人并排站成一行,如果其中的甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数是( )
A.42 B.60
C.72 D.80
___________.
6.用数字组成无重复数字的五位数,其中偶数有___________个(用数字作答).
7.省中学为预防秋季流感爆发,计划安排学生在校内进行常规体检,共有3个检查项目,需要安排在3间空教室里进行检查,学校现有6间空教室供选择使用,但是为了避免学生拥挤,要求作为检查项目的教室不能相邻,则共有___________种安排方式(用数字作答).
答案
1.C(点拨:
2.C(点拨:由得,经检验解得
3.C(点拨:首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列,排法种数为.再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》安排在3个“空”里(最后一个“空”不排),排法种数为,则后六场开场诗词的排法种数为.)
4.C(点拨:先除去甲、乙两人,将剩下的3个人进行全排列,排法种数为,再将甲、乙两人从产生的4个“空”中选2个插入,共种不同的排法.所以5个人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数是
5.348(点拨:.)
6.72(点拨:满足条件的数的个数为)
7.24(点拨:6间空教室,有3间空教室不使用,3间空教室产生4个“空”,故可把作为检查项目的教室插入4个“空”中,故所有不同的安排方式的种数为)
六、课堂小结
1.本节课我们学了哪些基本概念和公式
2.研究过程中体现了哪些数学思想与方法
3.通过本节课的学习你有哪些收获
七、布置作业
教材第20页练习第题.
板书设计:
6.2.2排列数 一、复习引入 二、揭示规律,导出公式 1.排列数的概念 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示 2.排列数的公式 (1) (2)的阶乘:! 三、强化公式,推导新公式 四、典型例题 例1 例2 五、巩固练习 六、课堂小结 七、布置作业
教学研讨:
本案例的设计突出“以人为本”的理念,体现学生的课堂主体地位.以学生认知特点为出发点,关注学生活动,在交流展示中习得新知,将数学知识、数学文化和现实生活有机融合,避免了在抽象出数学概念的过程中学生感到枯燥,同时拓宽了学生的视野.从在生活中发现问题到解决问题的过程,体现了数学来源于生活又服务于生活,体现数学的应用价值.在激发学生数学思维的同时,培养了学生的数学抽象、数学建模核心素养.排列数公式的推证,培养了学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
本案例在利用教材素材的基础上,对例题的选择有所拓展.对于“捆绑法”“插空法”,基础相对薄弱的学生学习时可能会有一定的困难,教师要根据学生的层次与水平选择使用.
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