人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列数》教学设计1

《排列数》教学设计
一、问题引入
问题1:在之前的学习中,我们是根据计数原理和列举的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加,这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式,从而能便捷地求出排列的个数
师生活动:
教师让学生阅读教材,获得排列数的概念与排列数的表示.
把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
教师带领学生回忆上一节中的问题1与问题2.
师:你能用排列数符号表示上一节问题1、问题2的排列数吗
生:问题1可表示为,问题2可表示为.
师:你能说明排列数与排列有何区别吗
教师指定学生回答,并评价指导.
生:排列是指“从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成的一列”,它不是一个数;而排列数则是指“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”,这是一个自然数.例如,从中任取2个的排列有,其中每一个都叫做一个排列,共有6个,即从中任取2个的排列数为6.
师:请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数,并用排列数符号表示.
生:问题1排列的个数为,问题2排列的个数为.
师:请你思考一下,排列数的符号与计算结果之间有什么联系
设计意图:给出排列数的定义及符号表示,结合上一节课的问题,让学生把排列数的符号与排列数联系起来,为下面推导排列数公式奠定基础.
二、公式推导
问题2:我们能否找到计算的公式呢
追问(1):我们已经知道,节问题1的排列数,问题2的排列数,那么如何求排列数
师生活动:
教师先引导学生用下面的例子思考:如图,假定有排好顺序的两个空位,从个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.
完成“填空”可以分两步完成:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这个不同元素中任选1个,有种选法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的个元素中任选1个,有种选法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种数为.
追问(2):如何求排列数
求排列数可以按依次填3个空位来考虑,有.
追问(3):你能类比求排列数和的方法,求排列数吗
师生活动:
教师引导学生思考:假定有排好顺序的个空位,从个不同元素中取出个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列.因此,所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算个空位的填法种数,得到排列数公式.这里,,并且.
设计意图:通过具体情境,引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式,采用从特殊到一般的思想方法,让学生体会归纳法在推导公式中的应用.
三、公式辨析
问题同学们观察分析排列数公式有什么特点 在使用排列数公式时应需注意什么问题
师生活动:
师:请你观察一下公式的右边,共有几个因数 各因数的大小有什么规律
生:右边第一个因数是,后面每个因数都比它前面的一个因数少1,最后一个因数是,共有个连续的正整数相乘.
师:请你比较一下与的大小关系,并说明公式右边的最后一个因数有什么特点
生:,最后一个因数是“下角码”与“上角码”的差加.
教师让学生利用排列数公式计算,并由此给出阶乘的概念.
特别地,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.这时,排列数公式中,即有.
将个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到的连乘积.正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.于是,个元素的全排列数公式可以写成!.规定.
设计意图:通过引导学生分析排列数公式的特点,让学生便于记忆公式.通过计算一些特殊的排列数,引入全排列的概念及阶乘的定义.
四、公式应用
例1 计算:(1);(2);(3);(4).
师生活动:
找两名学生板演,其他学生独立完成.
解:根据排列数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4)!.
提问:
(1)利用排列数公式求排列数时,和的值分别是多少 右边的因数分别有几个 最后一个因数是几
（2）如何求
追问:观察结果,从中发现它们的共性了吗 能否将其进行推广
针对上述问题,学生小组讨论后,得到公式,并进行证明.
设计意图:通过让学生运用排列数公式计算排列数,加深对公式的理解与记忆,并由第(3)小题引导学生得出排列数的阶乘公式.
巩固练习
1.先计算,然后用计算工具检验:
(1);
(2);
(3).
2.求证:
(1)；(2).
答案:
1.(1)11880 (2)0 (3)6
2.(1).
(2).
设计意图:进一步加深对公式的理解,并体会灵活选择公式可以简化运算.
例2 用这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数
师生活动：
教师提出问题:用这10个数字组成没有重复数字的三位数的个数是吗
生:不是.
教师追问:为什么不能这样计算
生:因为0不能在百位上,而其他9个数字可以在任意数位上,因此0是一个特殊的元素.
提示:这是一个有限制条件的问题.这种问题通常有两种计算方法:一种是直接计算法,即根据限制条件分解问题,把符合限制条件的排列数直接计算出来;另一种是先不考虑限制条件而计算出所有排列数,再从中减去全部不符合条件的排列数,从而得出符合条件的排列数.
方法一:解决这个问题可分两个步骤:第1步,先排特殊位置(百位)上的数字,有种方法;第2步,确定十位和个位上的数字,有种方法.根据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为.
方法二:根据分类加法计数原理,解决本题可分三类方案:第1类,三位数的每一位数字都不含0,有种方法;第2类,三位数的个位上的数字是0,有种方法;第3类,三位数的十位上的数字是0,有种方法.所以所求三位数的个数为.
方法三:先不考虑“0不能在百位上”这个限制条件,求出从10个数字中任意取出3个的排列数,再从中减去0在百位时的排列数,从而得到所求的三位数的个数.所以所求三位数的个数为.
设计意图:通过运用排列数的概念分析具体问题,加深对排列数的理解,并总结限制条件问题的一般处理方法.同时,应用排列数公式计算一些具体问题,加深公式的理解与记忆.
五、归纳总结
1.排列与排列数是两个不同的概念,这两个概念有什么不同
2.排列数公式是如何推导的 推导过程体现了什么样的数学思想与方法
3.如何应用排列与排列数公式分析解决问题
设计意图:通过设计问题让学生回顾本节课学习的内容,让学生在思考中加深对知识的理解.
六、布置作业
教材第20页练习第3题,教材第26页习题第1,8题.
板书设计:
6.2.2排列数 一、问题引入 排列数的概念:把从个不同元素中取出)个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示 二、公式推导 排列数公式: 这里,,并且 三、公式辨析 ! 四、公式应用 例1 推广公式: 例2 五、归纳总结 六、布置作业
教学研讨:
本案例承接上一节问题1、问题2,提出“是否有计算排列个数的公式,能够便捷地求出排列的个数”,给出排列数的概念,去除问题1、问题2的背景,抽象成“从3个不同元素中取出2个元素的排列个数”“从4个不同元素中取出3个元素的排列个数”,用符号分别表示为,排列数公式的推导,采用从特殊到一般,归纳猜想,然后利用分步乘法计数原理得出.引导学生分析公式的特点,便于学生记忆和运用公式.应用排列数公式求解排列数,并引导学生发现规律,得出排列数的另外一个公式.例2用三种方法求解,让学生体会从不同的角度分析一个问题的好处,这样不仅可以获得不同的解题方法,还可以加深对问题的认识,培养思维的灵活性,提高分析问题和解决问题的能力.
本案例中问题的设计主要以教材中的素材为主,教师可以根据学生的水平与层次,适当补充一些题目,让学生更好地理解和掌握这一类问题的解决方法.
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