人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《排列与组合课时2》教学设计

《排列与组合》教学设计
课时2排列的综合应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
排列与排列数公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 排列问题、组合问题及排列与组合的综合应用 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
排列的综合应用 数学建模 数学运算
组合与组合数公式 数学抽象 逻辑推理
组合的综合应用 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
排列与组合是组合学最基本的概念,其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,而不考虑将它们排序.
本节是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷地求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题;在下一节中,二项式系数就是组合数;在后续学习中还可看到它们与概率紧密不可分.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.排列与排列数公式 2.排列的综合应用 3.组合与组合数公式 4.组合的综合应用 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
从学生的现有知识水平看,学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考.从能力的角度看,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,对数学中归纳、化归、由特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱.教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生主动探究的兴趣,借助小组讨论、合作交流,全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.排列与排列数公式
2.排列的综合应用
3.组合与组合数公式
4.组合的综合应用
【教学目标设计】
1.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到排列的定义,并能利用定义判断排列问题.
2.能将所求排列数的结果归纳为一般形式,从而得出排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数.
3.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到组合的定义,并能利用定义判断组合问题,知道组合问题与排列问题的区别与联系.
4.能由组合数与排列数的关系得到所求组合数,再将具体结果归纳为一般形式,从而得到组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数.
【教学策略设计】
1.将数学文化和数学知识、实际生活有机地融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥.
2.以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性.
3.让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,体验从生活中发现数学的奇妙.
4.通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动,在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程.
5.注重渗透“特殊与一般”“分类讨论”“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法,让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质,真正做到“授之以鱼不如授之以渔”.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.排列和排列数公式.
2.组合和组合数公式.
难点 1.推导组合数公式.
2.排列与组合的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:请大家复习一下上一节课的知识点.
生:1.排列的概念:从个不同元素中,任取个元素(这里的被取元素各不相同),并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
2.排列数的概念:从个不同元素中,任取个元素的所有不同排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
3.排列数公式:
(1)连乘形式:,并且常用来求值,特别是当均为已知时;(2)阶乘形式:,常用来证明或化简.
师:生活中有很多的排列问题,大到大型活动的出场顺序,小到我们生活中的点滴小事,都无时无刻不体现排列的应用,你能举出生活中的实例吗
生:节目出场顺序的问题,数字排列问题等.
师:今天我们就来具体研究一下排列的简单应用.首先看数字排列问题,阅读下面例题,回答问题.
【先学后教】
由学生熟悉的知识出发,激发学生探索学习的兴趣,又从中培养学生良好的学习习惯.
【情境学习】
通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,培养了学生的自主学习能力.
教学精讲
【典型例题】
数字排列问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字
(1)六位奇数;
(2)个位数字不是5的六位数;
(3)不大于4310的四位偶数.
【简单问题解决能力】
教师引出思考,引导学生自主探究,培养学生发现问题和解决问题的能力.
师:明确奇数和偶数的特点,注意“0”这个特殊元素,利用直接法或间接法求解.
生解:(1)第一步,排个位数,有种排法;
第二步,排十万位,有种排法;
第三步,排其他位,有种方法.
故共有个六位奇数.
【引导学生思考,自主学习,回答问题,教师予以肯定】
生解:(2)解法一(直接法):
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类.
第一类,当个位排0时,有个;
第二类,当个位不排0时,有个.
故符合题意的六位数共有(个).
生解:解法二(排除法):
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.
故符合题意的六位数共有个.
生解:(3)分三种情况,具体如下:
(1)当千位上排1,3时,有个.
(2)当千位上排2时,有个.
(3)当千位上排4时,形如的偶数各有个,形如的偶数有个,形如的偶数只有4302和4310.
故符合题意的四位偶数共有(个).
师:排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上,或某个位置不排某些元素;解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时,应分类讨论.提醒:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
【少教精教】
在一个具体问题的基础上,教师更进一步提出疑问,启发学生思考,并联系排列的定义,让学生自主解决问题.
师:下面一起探究排队、排节目问题,看下面例题.
【典型例题】
排队、拍照问题
例2 (1)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种
B.42种
C.48种
D.54种
(2)7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法
①老师必须站在中间或两端;
②两名女生必须相邻而站;
③4名男生互不相邻;
④若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站.
【教师引导学生思考,通过小组探究,学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】
【情境学习】
教师以学生为中心,组织学生分组学习,学生根据教师给出的问题,在特定的情境中,以小组为单位,通过合作交流、讨论得到答案.
师:(1)丙的位置固定,应该以甲的位置为分类标准.
生解:因为丙必须排在最后一位,所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法.
当甲排在第一位时,有(种)编排方案;当甲排在第二位时,有(种)编排方案,所以共有(种).
师:(2)①优先考虑特殊元素——老师;②捆绑法排列;③插空法排列.
生解:①先考虑老师有种站法,再考虑其余6人全排,故不同站法总数为:(种);
②2名女生站在一起有站法种,视为一种元素与其余5人全排,有种排法,所以有不同站法为:(种);
③先站教师和女生,有站法种,再在教师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法种,所以共有不同站法(种);
④7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有种,而由高到低有从左到右和从右到左的不同,所以共有不同站法(种).
师:(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙地应用排除法可起到事倍功半的效果.
【综合问题解决能力】
通过教师引导学生发现问题,小组讨论解决问题,培养了学生发现问题,提出问题和解决问题的能力.通过探索知识,激发了学生的学习兴趣,提升学生的综合问题解决能力.
师:下面再看排列的综合问题,我们将从三个角度探究.
师:角度1——探究元素的“在”与“不在”问题.
【典型例题】
元素的“在”与“不在”问题
例3 3名男生,4名女生站成一排照相,若甲不站中间也不站两端,则有多少种不同的站法
师:甲是特殊元素应怎样去考虑
【学生积极思考,组内积极交流讨论,计算演算,教师巡视学生完成情况】
生解:第一步,安排甲,在除中间,两端以外的4个位置上任选一个位置安排,有种排法.第二步,安排其余6名学生,有种排法.
由分步乘法计数原理知,共有(种)不同排法.
师:“在”与“不在”排列问题解题原则及方法:
(1)原则:解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时,可以从元素入手也可以从位置入手,原则是谁特殊谁优先.
(2)方法:从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.
注意:解题时,或从元素考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底,不能一会考虑元素,一会考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.
【推测解释能力】
教师提问进行提示,学生积极思考完成简单的“在”与“不在”问题,在解决问题的过程中锻炼了推测解释能力.
师:角度2——探究固定顺序排列问题.
【典型例题】
固定顺序排列问题
例4 7人站成一排.
(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时,有多少种不同排法
(2)甲在乙的左边,有多少种不同的排法
【教师引导学生思考,通过小组探究学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】
生解:(1)解法一:7人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,又甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法共有(种).
解法二(插空法):7人站定7个位置,只要把其余4人排好,剩下的3个空位,甲、乙、丙就按他们的顺序去站,只有一种站法,故共有(种).
生解:(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等,而7人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有(种).
【自主学习】
解题过程中通过采用不同的解题方法,让学生体验学习的乐趣,引导学生自主探索,培养学生自主探究学习的能力.
师:固定顺序的排列问题的求解方法:
这类问题的解法通常是采用分类法.个不同元素的全排列有种排法,个元素的全排列有种排法.因此种排法中,关于个元素的不同分法有类,而且每一分类的排法数是一样的,当这个元素顺序确定时,共有种排法.
【整体学习】
通过总结强调重点和难点,帮助学生把知识系统化、条理化.
师:角度3——探究分类讨论思想在排列问题中的应用.
【典型例题】
排列问题中的分类讨论思想
例5 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,并由小到大排列,则第114个数是多少
【教师引导学生思考,通过小组探究,学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】
师:怎样分类
生解:分以下几类:
型的四位数有(个);
型的四位数有(个);
型的四位数有(个).
因此可得到千位数字是1与千位数字是3,百位数字小于9的四位数共有(个),所以第114个数必是型,按由小到大的顺序分别是故由小到大排列第114个数是.
师:我们这节课学习了哪些方法
【课堂小结】
排列的综合应用
1.解排列应用题的一般思路:(1)直接法,即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数;(2)间接法,即先不考虑限制条件,求出所有的排列数,再从中去掉不符合条件的排列数.
2.解排列应用问题的一般步骤:分析题意→画出“位置图”→分析每个位置的填法→列出表达式→计算.
3.对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松);对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).
【设计意图】
课时小结,教师引导学生总结当堂课重点内容,整体学习,培养学生对学习内容的整体认识.
教学评价
学完本节课,我们应该理解排列与组合的概念,能判断一个具体的计数问题是否是排列问题或者组合问题.掌握排列数公式与组合数公式,并能解决简单的计数问题.本节的数学思想方法主要包括分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
应用所学知识,完成下面各题.
1.从1~9的九个数字中取3个偶数,4个奇数,问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个
思路:组数问题是一类典型的排列组合问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被5整除的数等.需要注意以下几个问题:
(1)最高位数字不为0;
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;
(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.
解析:(1)分步完成:
第一步:在4个偶数中取3个,可有种情况;
第二步:在5个奇数中取4个,可有种情况;
第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况.
故符合题意的七位数共有(个).
(2)上述七位数中,将3个偶数排在一起有种情况;
故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有(个).
2.有4张分别标有数字的红色卡片和4张分别标有数字的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种
思路:解答排列、组合综合问题的思路及注意点:
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
解析:取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4;1,1,4,4;2,2,3,3三类,按照先选再排的方法求解.分三类:
第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有种;
第二类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种;
第三类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种.
故满足题意的所有不同的排法种数为(种).
【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会排列与组合知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生用相应的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
【简单问题解决能力】
通过教学评价,考查学生本节课对排列组合综合问题解决的掌握情况,在解题过程中提升了学生的简单问题解决能力.
教学反思
本节课内容较多,分为4课时,依次重点学习的内容是:排列与排列数公式、排列的综合应用、组合与组合数公式、组合的综合应用.在本节课的总体教学设计中,教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,采用多种方式:如和前边学过的排列的相关知识进行类比,从特殊到一般抽象出组合的概念;运用多媒体课件,利用生活中的具体实例帮助学生理解排列与组合的含义、排列数公式与组合数公式的推导;利用生活中的实例,突出排列与组合问题在统计中的重要位置,落实了数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力、猜想探究能力以及综合问题解决能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,学习组合时类比排列,培养了学生的自主学习能力.
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