人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《组合数》教学设计

《组合数》教学设计
一、问题引入
问题1:在上一节中,我们通过列举数数的方式得到各问题的所有组合个数,但随着元素个数的增加,这样的方法就越来越烦琐了.是否能像排列数公式一样,也找到计算组合个数的公式,从而可以便捷地求出所有组合的个数
师生活动：
教师让学生阅读教材,获得组合数的概念及符号表示.
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
让学生用组合数符号表示以下问题中的组合数.
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法
生:问题相当于从3个不同元素中取出2个元素,所以组合数表示为.
师:你能辨析组合与组合数这两个概念吗
生:组合与组合数是两个不同的概念,组合数是组合的个数.
设计意图:学生自已获得组合数的定义与组合数的符号表示,并用组合数的符号表示上一节的问题中涉及的组合数.让学生学以致用,为下面学习和推导组合数公式作铺垫.
二、推导公式
问题2:前面我们已经学习了排列与组合.排列与组合有什么关系 你能利用这种关系,由排列数求组合数吗
师生活动:
前面我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”,以“元素相同”为标准,建立了排列和组合之间的对应关系,并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数.
追问:如何求从4个不同元素中取出3个元素的组合数
教师借助框图(如图)用列举法帮助学生理解.
教师引导学生借助框图利用分步乘法计数原理理解求“从4个不同元素中取出3个元素的排列数”,分两步:
第1步,从4个元素中取出3个元素作为一组,共有种不同的取法;
第2步,将取出的3个元素作全排列,共有种不同的排法.
所以根据分步乘法计数原理,有
即.
追问:依据求组合数的方法,如何求组合数
生:求“从个不同元素中取出个元素的排列数”,可以看作由以下两个步骤得到:
第1步,从个不同元素中取出个元素作为一组,共有种不同的取法;
第2步,将取出的个元素作全排列,共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理,有.
因此,.这里,并且.这个公式叫做组合数公式.
追问:我们知道排列数公式有两种表示形式,组合数公式是否也有两种表示形式呢
学生思考、讨论、交流.
得出组合数公式的另一种表示形式:.
设计意图:利用排列数公式及分步乘法计数原理推导组合数公式,深化了对排列与组合的理解与认识.从不同的角度解释问题,进而形成对问题更深刻的认识,获得思想方法的启发.
三、辨析公式
问题3:两个组合数公式有什么特点
师生活动:
(1)与排列数公式比较,二者有什么相似和不同
(2)在求组合数时,应该如何选择两个公式
组合数公式中的分子就是排列数.公式常用于计算组合数的具体个数,公式常用于对含有字母的排列数的式子进行变形.
与一样,也是一种规定,这样的规定是符合人的直观的.
设计意图:通过引导学生分析公式的特点,以便更好地让学生记忆公式.两个公式各有特点,通过分析让学生学会在不同的情境中选择恰当的公式.
四、应用举例
例1计算:(1);(2);(3);(4).
师生活动：
教师找几名学生板演求解过程.根据学生的完成情况进行点评指导.
解:根据组合数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4).
在完成例1后,让学生分析观察例1中(1)与(2),(3)与(4)的结果,说出自己的发现和猜想.
为了便于让学生发现规律,教师可以再写出几组组合数让学生进行计算,比如:与与与与等.
师生共同得出结论:.
教师提出问题:你能用具体的事例解释这一结论吗
设计意图:通过利用组合数的公式计算一些简单的组合数,让学生体会公式运用过程中应注意的问题,同时加深对公式的理解与认识,并结合运算结果发现新的规律.
例2 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
师生活动:
在完成例2的过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)这是一个排列问题还是组合问题
(2)应该根据什么计数原理解决问题
(3)能否对同一问题给出不同的解题方法
(4)能否归纳求组合问题的一般方法
学生针对教师提出的问题思考、讨论、交流.
分析:(1)从100件产品中任意抽出3件,不需考虑顺序,因此这是一个组合问题;
(2)可以先从2件次品中抽出1件,再从98件合格品中抽出2件,因此可以看作是一个分步完成的组合问题；
(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品的情况,因此可以看作是一个分类完成的组合问题.
找几名学生板演,教师根据学生的完成情况进行评价指导.
解:(1)所有的不同抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以抽法种数为.
(2)从2件次品中抽出1件的抽法有种,从98件合格品中抽出2件的抽法有种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为.
(3)方法一:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为.
方法二:抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即.
设计意图:通过应用公式解决问题,及时巩固组合数公式,形成解决组合问题的一般方法.
巩固练习:教材第页练习第题.
学生自主完成练习题,教师订正答案.
设计意图:通过应用,进一步巩固公式,熟悉解决组合问题的一般方法,提高分析问题和解决问题的能力,发展数学运算和数学建模核心素养.
五、归纳总结提升
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并让学生回答下列问题:
(1)提出一个组合问题,并结合问题说明组合与组合数的区别.
(2)组合数公式是如何推导的
(3)如何解决组合问题 应用组合数公式时需要注意什么
设计意图:通过提出问题,让学生明确组合数的概念,回顾组合数公式的推导,总结解决组合问题的一般方法.
六、布置作业
教材第页习题第题.
板书设计:
组合数 一、问题引入 组合数概念 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示 二、推导公式 组合数公式 公式一: 公式二: 三、辨析公式 规定: 四、应用举例 例1 例2 五、归纳总结提升 六、布置作业
教学研讨:
本案例设计了系列问题引导学生研究组合与排列的关系,发现排列可以分为“先取元素分组,再对组中元素作全排列”两个步骤.为了让学生充分经历“发现”的过程,教材从具体问题“从4个不同元素中取出3个元素的排列数与组合数的关系”出发,为学生搭建了多个认知台阶：(1)借助框图用列举法得出答案.(2)让学生思考、讨论、探究,从a,b,c,d中取出3个元素的排列数与组合数之间的关系.(3)以“等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释”为指导,分析实际意义.(4)把结论推广到一般情形,得出组合数公式.在推导公式的过程中,从不同的角度解释问题,从而形成了对问题较深刻的认识,获得思想方法的启发.同时也体现了从特殊到一般的思维方法.得出公式后引导学生把握公式的特点,更好地理解和应用公式.有些教师可能认为不如直接给出公式,节省出时间,通过练习大量的题目让学生记忆和巩固公式,更有效果.但这样不利于学生发展思维.
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