《排列与排列数》学考达标练
一、选择题
1.（多选）下列问题属于排列问题的是（ ）.
A.从10个人中任选2人分别去种树和扫地
B.从10个人中任选2人去扫地
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5,,,8中任取两个不同的数组成两位数
2.（2021保定一中高二月考）化简 的值为（ ）.
A.32
B.36
C.40
D.48
3.（2021广州六中高三模拟）从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数中的参数可组成不同的二次函数共（ ）个.
A.14
B.16
C.18
D.20
4.（2021闵行三中月考）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有（ ）种.
A.960
B.840
C.720
D.640
二、填空题
5.（2021达县中学高二月考）把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里,如果数学必须比历史先上,那么不同的排法有_________种.
6.（2021苏州检测）喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判它们握手言和,准备合影留念（排成一排）.
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻,有________种不同的排法；
（2）要求灰太狼红太狼不相邻,有__________种不同的排法.
三、解答题
7.（2021杭州一中单元测试）用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，求按下列要求的排法各有多少个：
（1）偶数不相邻；
（2）偶数一定在奇数位上；
（3）奇数位上一定是奇数，偶数位上一定是偶数.
参考答案
一、选择题
1.
答案：AD
解析：由排列的定义知AD是排列问题.
2.
答案：B
解析：因为,,所以原式.
3.
答案：C
解析：因为为二次函数,所以,有3种选择,而可以从剩下的3个数中任选2个,共种选择,所以可以组成不同的二次函数有(个).
4.
答案：A
解析：5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人看成一个元素插入5名志愿者排列形成的4个空位中(不包括两端),且2位老人的位置全排列,故不同的排法共有960(种).
二、填空题
5.
答案：60
解析：五门课程随意安排有种排法,数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半,所以数学课排在历史课前的排法有(种).
6.
答案：(1)144 (2)480
解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素与红太狼、灰太狼排列,排法种数为.因为喜羊羊家族的四位成员交换顺序会产生不同排列,所以不同的排法共有(种).
(2)第一步,将喜羊羊家族的四位成员排好,有种排法;第二步,让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成员形成的空当(包括两端)中,有种排法,故不同的排法共有(种).
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：解:(1)先排4个奇数,有种排法,再将3个偶数插到前面已经排好的4个奇数之间及两端的5个空位中,有种排法,故共有(个)符合条件的七位数.
(2)共有7个空位,其中有4个奇数位,先排偶数,相当于从4个奇数位中取3个给偶数的一个排列,有种排法.再排4个奇数,只能排在剩余的4个空位中,有种排法.由分步乘法计数原理,得共有(个)符合条件的七位数.
(3)分两步:①将奇数排在奇数位上,有种排法;②将偶数排在偶数位上,有种排法.故共有(个)符合条件的七位数.
1 / 4《排列与组合》链接高考
一、选择题
1.安排,共6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工不安排照顾老人甲,义工不安排照顾老人乙,则安排方法共有( )
A.30种
B.40种
C.42种
D.48种
2.(2020·全国卷I)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
3.互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法( )
A.种
B.种
C.种
D.种
二、填空题
4.(2020·全国卷II)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.
三、解答题
5.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个空盒,有几种放法
(2)恰有2个盒子不放球,有几种放法
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有:种安排方法,
其中照顾老人甲的情况有:(种),
照顾老人乙的情况有:(种),
照顾老人甲,同时照顾老人乙的情况有:(种),
所符合题意的安排方法有:(种).
2.答案:C
解析:首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有;然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有;最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.
3.答案:D
解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有种摆放方法.
二、填空题
4.答案:36
解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有:.现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:,根据分步乘法计数原理,可得安排方法种.
三、解答题
5.答案:见解析
解析:(1)先从4个小球中取2个放在一起,有种不同的取法,再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆,并分别放入4个盒子中的3个盒子里,有种放法,根据分步乘法计数原理,共有(种)不同的放法.
(2)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入个盒子中.有两类放法:第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有种,再放到2个盒子中有种放法,共有种放法;第二类,2个盒子中各放2个小球有种放法.故恰有2个盒子不放球的方法有(种).
思路:本题要求学生能综合运用有限制条件的组合问题进行逻辑推理,从而解决.解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
1 / 4《排列与排列数》高考通关练
一、选择题
1.已知,则n的值为（ ）.
A.4
B.5
C.6
D.7
2.（贵阳一中模拟）(多选)下列问题中,属于排列问题的有（ ）.
A.10本不同的书分给10名同学,每人一本
B.10位同学去做春季运动会志愿者
C.10位同学参加不同项目的运动会比赛
D.10个没有任何三点共线的点构成的线段
3.（2021北京四中模拟）(多选)从甲、乙等7名同学中选出5名同学排成一排,则下列结论正确的是（ ）.
A.甲不在首位的排法有96种
B.甲不在首位的排法有2160种
C.甲、乙两人相邻的排法有480种
D.甲、乙两人不相邻的排法有2040种
4.（2021西昌一中高二月考）高三（1）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）.
A.1800
B.3600
C.4320
D.5040
5.（2021长春实验中学高二单元检测）世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法有（ ）种.
A.6
B.8
C.10
D.12
二、填空题
6.（2021盐城一中高三月考）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为__________.
7.（2020·黄冈中学高二期末）某班有A，B，C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.
（1）若正、副班长两个职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有_______种分工方案；
（2）若正、副班长两个职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有________种分工方案.
8.（1）由数字1，2，3，4，5可以组成_______个没有重复数字的五位数；可以组成______个没有重复数字的正整数；
（2）由数字1，2，3，4可以组成______个没有重复数字且比1300大的正整数.
9.（2021·华南师大附中单元测试）求解下列两个问题：
（1）6人站成一排，甲必须在乙的右边（可以不相邻），有_______种不同的站法;
（2）在已有6个节目的节目单中插入2个新节目，且保证原有节目相对前后顺序不变的排法有__________种.
三、解答题
10.（2021西大附中高二期中）求解下列问题:
(1)用排列数表示且;
(2)计算:;
(3)化简:.
11.（2021黄冈中学月考）用数字0，1，2，3，4：（1）可组成多少个无重复数字的五位数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位奇数？（3）在没有重复数字的五位数中，按由小到大的顺序排，42130是第几个数？第61个数是多少？（4）可组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：由,得,解得.
2.
答案：AC
解析：由排列与顺序有关,可知A,C是排列问题,B,D不是排列问题.
3.
答案：BCD
解析：甲不在首位,则首位有6种排法,则不同的排法有(种),故A错误,B正确;甲、乙两人相邻的排法有(种),故C正确;甲、乙两人不相邻的排法有 (种),故D正确.
4.
答案：B
解析：不同排法的种数为.
5.
答案：A
解析：∵甲、乙两人被分配到同一展台,∴可以把甲与乙捆在一起,然后与丙、丁进行全排列,即有种分法,∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法有(种).
二、填空题
6.
答案：288
解析：若2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外四个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则六位数的个数为,其中2,4与6相邻的六位数有 (个),所以只有2,4相邻的满足题意的六位数有 (个),∴全部符合条件的六位数有(个).
7.
答案：(1)720 (2)3600
解析：(1)从A,B,C三人中任选两人担任正、副班长,有种方法,再安排其余5种职务,有种方法,根据分步乘法计数原理知,共有(种)分工方案.
(2)7人担任7种职务的分工方案有种,,,三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此,A,B,C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有(种).
8.
答案：(1)120 325 (2)22
解析：(1)由数字可以组成的没有重复数字的五位数的个数为.
由数字组成没有重复数字的正整数,共分为五类:第1类,一位数有个;第2类,两位数有个;第3类,三位数有个;第4类,四位数有个;第5类,五位数有个.
所以根据分类加法计数原理,由数字可以组成的没有重复数字的正整数的个数为.
(2)由数字1,,,4组成没有重复数字且比1300大的正整数,共分为四类:
第1类,千位数字为1,且比1300大,百位数字只能是3或4,共有(个);
第2类,千位数字为2,均比1300大,有(个);
第3类,千位数字为3,均比1300大,有(个);
第4类,千位数字为4,均比1300大,有(个).
根据分类加法计数原理,由数字1,,,4可以组成的没有重复数字且比1300大的正整数的个数为.
9.
答案：(1)360 (2)56
解析：(1)方法一:先从6个位置中选4个位置,排上无要求的4人,然后按照既定顺序(甲在乙右边)让甲、乙在余下的2个位置直接插入,所以当甲在乙右边时共有(种)不同的站法.
方法二:6人排队,2人顺序固定,共有(种)不同的站法.
方法三:先让无要求的4人任意排列,有种方法;对于其中的每一种排法,当甲在最左端时,乙只有1种站法,当甲在左边第1人和第2人之间时,乙有2种站法;当甲在左边第2人和第3人之间时,乙有3种站法;当甲在左边第3人和第4人之间、第4人右边时,乙分别有4种、5种不同的站法,因此,甲在乙右边时共有种不同的站法.
(2)方法一:相当于8个节目全排列且要求6个顺序固定,因而有(种)不同的排法.
方法二:分两步完成:第1步,插入第一个新节目有7种方法;第2步,插入第二个新节目有8种方法.
由分步乘法计数原理,得共有(种)不同的排法.
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：解:(1)因为,,,中的最大正整数为,最小正整数为,且共有(个)正整数连续相乘,所以.
(2)原式.
(3).
11.
答案：见解析
解析：解:(1)方法一:从特殊位置入手(直接法):先从1,,,4中任选一个填入万位,共有4种填法,其余四个位置,为剩余4个数字的全排列,故无重复数字的五位数共有个)
方法二:从特殊元素入手(直接法):先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入,有种填法,然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列有种,故无重复数字的五位数共有.(个).
(2)从特殊位置入手(直接法):先填个位,从1,3中任选一个填入,有种填法,然后从剩余的3个非0数字中任选一个填入万位,有种填法,包含0在内还有3个数字在中间三个位置上全排列,排列数为,故无重复数字的五位奇数有(个).
(3)(直接法):当万位数字为1,,3时,共有个数;当万位数字为4,千位数字为0,1时,共有个数;当万位数字为4,千位数字为2,而百位数字为0和1时,共有个数,所以42130是第(个)数.万位是1,2的各有个数;万位是3,千位是0,1的各有的个数,所以共有(个)数.故第61个数为32014.
(4)(间接法):先将1,3在奇数位上排列,有种排法;再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列,有种排法;其中1,3在个位和百位上,而万位上为0的不合题意,有种排法.所以符合条件的数共有(个).
1 / 6《排列与排列数》竞赛培优
一、填空题
1.（2019全国高中数字联赛一试B卷）将5个数2,,,,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0,则产生的不同的8位数的个数为__________.
2.（2018全国高中数学联赛湖南赛区A卷）从,,,,,,,4八个数字中,任取三个不同的数字作为二次函数中的的值,若二次函数的图像过原点,且其顶点在第一象限或第三象限,这样的二次函数有_______个.
参考答案
一、填空题
1.
答案：95
解析：第一步,先排2,,,2019四个数,有种排法;第二步,再将0插入排好的四个数形成的5个空位中,因为0不能在最前面,所以0的排法有种.
由分步乘法计数原理可知符合条件的排列有个其中,除了,,,,和,,,,这两种排列对应同一个数20192019,其余的数互不相等,因此满足条件的8位数的个数为.
2.
答案：24
解析：根据题意,可将二次函数分为两大类:一类图像顶点在第一象限;另一类图像顶点在第三象限.然后根据顶点坐标的符号进行讨论.
∵图像过坐标原点,∴,
∴二次函数可写成的形式.
又,∴其图像的顶点坐标是.
若顶点在第一象限,则有,,故,.
因此,这样的二次函数有个.
若顶点在第三象限,则有,,故,.这样的二次函数有(个).
由分类加法计数原理知满足条件的二次函数共有(个).
2 / 2
