《排列与组合》链接高考
一、选择题
1.安排,共6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工不安排照顾老人甲,义工不安排照顾老人乙,则安排方法共有( )
A.30种
B.40种
C.42种
D.48种
2.(2020·全国卷I)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
3.互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法( )
A.种
B.种
C.种
D.种
二、填空题
4.(2020·全国卷II)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.
三、解答题
5.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个空盒,有几种放法
(2)恰有2个盒子不放球,有几种放法
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有:种安排方法,
其中照顾老人甲的情况有:(种),
照顾老人乙的情况有:(种),
照顾老人甲,同时照顾老人乙的情况有:(种),
所符合题意的安排方法有:(种).
2.答案:C
解析:首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有;然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有;最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.
3.答案:D
解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有种摆放方法.
二、填空题
4.答案:36
解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有:.现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:,根据分步乘法计数原理,可得安排方法种.
三、解答题
5.答案:见解析
解析:(1)先从4个小球中取2个放在一起,有种不同的取法,再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆,并分别放入4个盒子中的3个盒子里,有种放法,根据分步乘法计数原理,共有(种)不同的放法.
(2)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入个盒子中.有两类放法:第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有种,再放到2个盒子中有种放法,共有种放法;第二类,2个盒子中各放2个小球有种放法.故恰有2个盒子不放球的方法有(种).
思路:本题要求学生能综合运用有限制条件的组合问题进行逻辑推理,从而解决.解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
1 / 4《组合与组合数》高考通关练
一、选择题
1.（2021蚌埠高二期末）下列等式中, 错误的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.（2021长宁区、嘉定区高三模拟）现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为（ ）.
A.560
B.544
C.472
D.452
3.（2021重庆一中高三月考）鞋柜里有4双不同的鞋,从中随机取出一只左脚的,一只右脚的,恰好成双的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2021南开中学单元检测）(多选)现有男选手3名,女选手5名,其中男女队长各1名,现选4人外出比赛,则下列说法正确的是（ ）.
A.男选手2名,女选手2名的选法有30种
B.至少有1名男选手的选法有65种
C.至多有1名队长的选法有55种
D.既要有队长,又要有男选手的选法有36种
5.（2021杭州二中模拟）(多选)3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是（ ）
A.共有60种不同的坐法
B.空位不相邻的坐法有72种
C.空位相邻的坐法有24种
D.两端不是空位的坐法有18种
二、填空题
6.计算:
(1)___________．
(2)若,则n的值为＿＿＿＿＿．
7.（2021衡水高三调研）某单位现需要将“先进个人”“业务精英”“道德模范”“新长征突击手”“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有________种.
8.（2021上海交大附中高二期末）一个正方体的8个顶点可以组成________个非等边三角形.
9.（2021酒钢三中高二期中）一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为,则＿＿＿＿．(用组合数作答)
三、解答题
10.化简:
(1);
(2);
(3)．
11.从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项,,所以选项是错误的.故答案为.
2.
答案：C
解析：用间接法,符合条件的取法的种数为.
3.
答案：A
解析：鞋柜里有4双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,基本事件总数,恰好成双包含的基本事件个数,∴恰好成双的概率为.故选.
4.
答案：ABC
解析：男选手2名,女选手2名的选法有(种),故A正确;至少有1名男选手的选法有(种),故B正确;至多有1名队长的选法有(种),故C正确;既要有队长,又要有男选手的选法有(种),故D错误.
5.
答案：ACD
解析：3个人坐在一排5个座位上,则有(种)不同的坐法,故A正确;空位不相邻的坐法有(种),故错误;空位相邻的坐法有(种),故正确;两端不是空位的坐法有(种),故D正确.
二、填空题
6.
答案：(1)165 (2)7
解析：(1)由组合数性质,得.
(2)∵,∴,∴.
7.
答案：114
解析：将五种荣誉分给3人,共有,和两类.①当为时,共有(种),“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有(种),故有(种);②当为时,共有(种),“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有(种),故有(种).综上,不同的分配方法共有(种).
8.
答案：48
解析：从正方体的8个顶点中任取三个点共有种取法,其中等边三角形共有8个,所以非等边三角形共有个),故答案为48.
9.
答案：(或)
解析：根据题意,分析可得电子蚂蚁一共需要爬行步,其中向上n步,向右m步,需要在步中选出m步向右即可,则,故答案为(或).
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：解:(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
11.
答案：见解析
解析：解:(1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,故有(种)选法.(2)从除去,两人的10人中选5人即可,故有(种)选法.(3)全部选法有种,A,B全当选有种,故A,B不全当选有(种)选法.(4)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生”或“没有女生”,故可用间接法求解,所以有(种)选法.(5)分三步进行:第一步,选1男1女分别担任体育委员和班长这两个职务,有种选法;第二步,选2男1女补足5人,有种选法;第三步,为这3人安排工作,有种方法.由分步乘法计数原理知共有(种)选法.
1 / 6《组合与组合数》竞赛培优
一、填空题
1．（2019浙江大学自主招生）一枚质地均匀的硬币,扔硬币10次,正面朝上次数多的概率为＿＿＿＿＿．
二、解答题
2．（2019北京大学自主招生）从1,,,,,,,,9中取出4个不同的数,分别记为求和奇偶性相同的概率．
参考答案
1．
答案：
解析：易知正面朝上次数多的概率为=.
2.
答案：见解析
解析：解:,同为偶数,共(种)情况;同为奇数,共(种)情况,故和奇偶性相同的概率为.
1 / 2《组合与组合数》学考达标练
一、选择题
1.（2021石家庄四县七校高二期末）（ ）
D.3
A.9
B.12
C.15
2.（2021青岛二中模拟）(多选)下面几个问题中属于组合问题的是（ ）
A.设集合,则集合A中含有3个元素的子集有多少个
B.某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种火车票
C.从7本不同的书中取出5本给某同学,一共有多少种取法
D.3人去做5种不同的工作,每人做一种且互不相同,有多少种分工方法
3.（2021东北师大附中月考）每年的9月初是高校新生到校报到的时间,此时学生会将组织师兄师姐做好接待工作,若某学院只有3位师兄在迎新现场,突然来了4位新生,要求一次性派发完迎新指引工作(可以有1位师兄接待2位新生),则安排方案有( )种.
A.32
B.36
C.40
D.48
4.（2021彭水一中高二月考）现有6个人排成一排照相,由于甲、乙性格不合,所以要求甲、乙不相邻,丙最高,要求丙站在最中间的两个位置中的一个位置上,则不同的站法有（ ）种.
A.84
B.90
C.168
D.180
二、填空题
5.（2021宿迁高二测试）若,则x的值为__________.
6.（2021建水六中高二期中）小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市
作为2020年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是__________.
三、解答题
7.（2021九江模拟）要从12人中选出5人参加一项活动.按下列要求,有多少种不同选法
(1)A,B,C三人必须入选;
(2)A,B,C三人不能入选;
(3)A,B,C三人中只有1人入选;
(4)A,B,C三人中至少1人入选;
(5)A,B,C三人中至多2人入选.
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：直接利用排列数、组合数的公式计算.由题得.故答案为A.
2.
答案：AC
解析：集合A中含有3个元素的子集与顺序无关,故是组合问题;火车票与起点、终点的顺序有关,故B是排列问题;从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书不需要考虑顺序,故C是组合问题;分工有顺序,故D是排列问题.
3.
答案：B
解析：先将4名学生分成三组,则共有(种)情况,再将3名师兄全排列有(种)情况,所以共有(种)安排方案,故选B.
4.
答案：C
解析：已知丙在中间两个位置上选一个,若甲、乙在丙的两边,则有站法(种);若甲、乙在丙的同侧,且不相邻,则有站法(种),则不同站法有(种),故选C.
二、填空题
5.
答案：4或9
解析：因为,所以或,且,,,因此或.
6.
答案：
解析：从四个城市中任选三个城市的选择方法有种,其中有济南入选,再从另外三个城市中选两个,则有种选法,根据古典概型计算公式得济南被选入的概率是.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：解:(1)再选两人即可,故方法数为.(2)从另外9人中选5人,方法数为.(3)A,B,C中选1人,其余9人中选4人,故方法数为.(4)总的方法数减去A,B,C三人都不入选的方法数,即(4)A,B,C三人中至多选2人,即总的方法数减去,,三人都入选的方法数,即.
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