人教B版（2019）高中数学必修第一册 【提升训练】集合及其表示方法（含解析）

提升训练1．1集合及其表示方法
一、选择题
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）
A．一切很大的数
B．无限接近零的数
C．聪明的人
D．方程的实数根
2．已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．用列举法表示集合正确的是（ ）
A． 2，2
B．{ 2}
C．{2}
D．{ 2，2}
4．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．9
B．5
C．3
D．1
5．下列说法正确的是（ ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的自然数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
6．集合{x|x≥2}表示成区间是（ ）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（–∞，2）
D．（–∞，2]
7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为（ ）
A．4
B．5
C．10
D．12
8．不等式的解集用区间可表示为
A．（–∞，）
B．（–∞，]
C．（，+∞）
D．[，+∞）
9．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
10．方程组的解集不可以表示为（ ）
A．{（x，y）|}
B．{（x，y）|}
C．{1，2}
D．{（1，2）}
11．下列选项中，表示同一集合的是（ ）
A．A={0，1}，B={（0，1）}
B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–1D．A= ，
12．若集合A具有以下性质：
（Ⅰ）0∈A，1∈A；
（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（ ）
（1）集合B＝{－1，0，1}是“好集”；
（2）有理数集Q是“好集”；
（3）设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A．
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
13．用区间表示数集{x|214．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
15．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②Q；③0∈N＋；④|－4|N＋．
16．在数集中，实数不能取的值是______．
三、解答题
17．在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，并用区间表示该集合．
18．用适当的方法表示下列集合．
（1）小于5的自然数构成的集合；
（2）直角坐标系内第三象限的点集；
（3）偶数集．
19．已知，用列举法表示集合．
20．已知，，求实数的值．
21．用区间表示下列数集：
（1）；（2）；
（3）；（4）R；
（5）；（6）．
22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
提升训练1．1集合及其表示方法答案
一、选择题
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）
A．一切很大的数
B．无限接近零的数
C．聪明的人
D．方程的实数根
【答案】D
【解析】
选项，，中给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；
选项中方程的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．故选．
2．已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．
3．用列举法表示集合正确的是（ ）
A． 2，2
B．{ 2}
C．{2}
D．{ 2，2}
【答案】D
【解析】由x2 4=0，解得：x=±2，故A={ 2，2}，本题选择D选项．
4．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．9
B．5
C．3
D．1
【答案】B
【解析】因为集合A＝{0，1，2}，所以集合，所以集合B中共有5个元素，故选B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的自然数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】C
【解析】
选项A，不满足确定性，故错误
选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误
选项C，满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确
选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误.故选C
6．集合{x|x≥2}表示成区间是（ ）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（–∞，2）
D．（–∞，2]
【答案】B
【解析】
集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．
点睛：（1）用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为（ ）
A．4
B．5
C．10
D．12
【答案】D
【解析】
由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足
x是正整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，
符合条件的x共有12个，故选：D．
8．不等式的解集用区间可表示为
A．（–∞，）
B．（–∞，]
C．（，+∞）
D．[，+∞）
【答案】D
【解析】解不等式2x–1≥0，得x≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）故选D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
【答案】D
【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D.
10．方程组的解集不可以表示为（ ）
A．{（x，y）|}
B．{（x，y）|}
C．{1，2}
D．{（1，2）}
【答案】C
【解析】
由于方程组的解集中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，
所以A，B，D符合题意，C不符合题意．故选C．
11．下列选项中，表示同一集合的是（ ）
A．A={0，1}，B={（0，1）}
B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–1D．A= ，
【答案】B
【解析】
在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–112．若集合A具有以下性质：
（Ⅰ）0∈A，1∈A；
（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（ ）
（1）集合B＝{－1，0，1}是“好集”；
（2）有理数集Q是“好集”；
（3）设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
（1）集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B，1∈B，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾．（2）有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．（3）因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A．
二、填空题
13．用区间表示数集{x|2【答案】（2，4]
【解析】
数集{x|2故答案为：（2，4]．
14．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意3a－1>a，得a>，故填
15．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②Q；③0∈N＋；④|－4|N＋．
【答案】2
【解析】
因为R是实数集，所以正确；
因为Q是有理数集，而不是有理数，所以正确；
是非零的自然数，所以，所以是错误的；
因为，所以是错误的；
所以正确的个数是2．
16．在数集中，实数不能取的值是______．
【答案】2，3
【解析】由集合的互异性知：中，．实数不能取的值是2，3．
三、解答题
17．在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，并用区间表示该集合．
【答案】答案详见解析．
【解析】在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，如下图：
用区间表示该集合为：．
18．用适当的方法表示下列集合．
（1）小于5的自然数构成的集合；
（2）直角坐标系内第三象限的点集；
（3）偶数集．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）；
（2）；
（3）
19．已知，用列举法表示集合．
【答案】
【解析】
因为，所以，
，所以
20．已知，，求实数的值．
【答案】
【解析】
因为，所以有或，显然，
当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故．
21．用区间表示下列数集：
（1）；（2）；
（3）；（4）R；
（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）R=；
（5）；
（6）．
22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）．
【解析】
（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，
∴
∵-1∈A，∴
∴A中另外两个元素为，；
（2），，，且，，
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）由，，可得
，所有元素积为1，∴，
、、，∴．