《集合及其表示方法》基础训练
一、单项选择题
1.下列各组对象中不能构成集合的是（ ）
A.世界上人口多的国家
B.参加2018年平昌冬奥会的运动员
C.所有的直角三角形
D.由20国青年评选出的我国“新四大发明”
2.集合用区间表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知集合中三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
4.已知集合，用自然语言描述M应为（ ）
A.函数图像上的所有点组成的集合
B.函数的所有自变量x的取值组成的集合
C.满足的所有函数值y组成的集合
D.以上说法都不对
5.已知集合，则a与集合A的关系表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
6.下列选项中正确的是（ ）
A.与{0}表示同一集合
B由2，3组成的集合可表示为或
C.方程的所有解组成的集合为
D.与表示同一集合
E.集合可以用列举法表示
三、填空题
7.集合A中的元素y满足且，若，则t的值为_______;集合A是_______限集.（填“有”或“无”）
8.被4除余数为1的所有自然数组成的集合是_______.
四、解答题
9.若集合，已知，试判断与A、B的关系.
10.已知，求实数x的值.
参考答案
1.
答案：A
解析：选项B，C，D中的对象都是确定的，因此能构成集合，而选项A中的“人口多的国家”没有一个明确的标准，所以不能构成集合故选A.
2.
答案：D
解析：
3.
答案：D
解析：由集合中元素的互异性知，故△ABC一定不是等腰三角形.
4.
答案：C
解析：
5.
答案：A
解析：因为，所以.故选A.
二、多项选择题
6.
答案：BD
解析：表示空集，不含任何元素，而{0}中有一个元素，故不是同一集合，故选项A不正确；由于集合中元素具有无序性，故选项B正确；因为集合中元素具有互异性，故正确的表示为{1,2}，故选项C不正确；D中两集合都表示集合，故选项D正确；集合是无限集，无法用列举法表示，故选项E不正确.故正确的选项为BD.
三、填空题
7.
答案：0或1；有
解析：因为，且，所以或，所以，又，所以或.由于A中只有2个元素，故A为有限集.
8.
答案：
解析：
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：.
，
.
，
.
10.
答案：见解析
解析：由得或或.
当时，解得.当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，此时集合为，符合题意.
当时，解得，不满足集合中元素的互异性，故舍去.
当时，解得或，由上可知此时不符合，故舍去.
综上，实数x的值为.
3 / 4《集合及其表示方法》提升训练
一、单项选择题
1.下列集合中，不能用区间表示的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.下列描述的对象所构成的集合是无限集的是（ ）
A.方程的根
B.大于0且小于5的实数
C.小于22的质数
D.倒数等于它本身的实数
3.在集合上定义两种运算和，如图所示，那么（ ）
A.a
B.b
C.c
D.d
4.已知，若集合P中恰有4个元素，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知数集具有性质P：对任意的，若与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
A.{1,3,4}为“权集”
B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
二、多项选择题
6.下列各组中的集合表示同一集合的是（ ）
A.与
B.
C.
D.
E.
三、填空题
7.以方程和方程的解为元素的集合中共有________个元素.
8.已知集合，若，则满足条件的a组成的集合为________.
四、解答题
9.已知集合，集合试问集合A与B共有几个相10同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合.
10.设集合，集合，若已知，试判断a与集合B的关系.
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：
2.
答案：B
解析：A中描述的集合中只有和8两个元素；B中大于0且小于5的实数有无数个；C中小于22的质数有8个；D中描述的对象只有.故只有B中描述的对象构成的集合是无限集.
3.
答案：A
解析：由题图可知，
，故选A.
4.
答案：B
解析：集合P中恰有4个元素，则这4个元素为3，4，5，6，.
5.
答案：B
解析：由于3×4与均不属于数集，故A不正确；由于1×2，1×3，
1×6，2×3，都属于数集，故B正确；由“权集”的定义可知，不能有0，故C不正确；是权集，但中不含元素1，故D不正确.故选B.
二、多项选择题
6.
答案：BCE
解析：A中是有限集而是无限集，故不是同一集合.B中两集合都表示由2到3的所有实数组成的集合，故为同一集合.C中在实数范围内无任何元素，为，故为同一集合.D中集合中只有一个元素，而是无限集，故不是同一集合.E中函数的所有自变量x的取值组成的集合为，即；函数的所有函数值y组成的集合为，也是，故为同一集合.
三、填空题
7.
答案：3
解析：方程的解为或；方程的解为或.由集合中元素的互异性可知集合中有3个元素.
8.
答案：
解析：由题意得
.又，
满足条件的a组成的集合为.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：，
.
，
.
集合A，B有两个相同的元素.由这些相同元素组成的集合为.
10.
答案：见解析
解析：.
又.
1 / 5《集合及其表示方法》高考达标练
1.（新课标全国卷）已知集合，则B中所含元素的个数为（ ）
A.3
B.6
C.8
D.10
2.（2019·侯四中高一期中）已知集合，则a与集合A的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.定义集合运算：.设，则集合的所有元素之和为（ ）
A.0
B.2
C.3
D.6
4.已知集合，若，则的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.不能确定
5.（2019·洛阳高一检测）集合小中元素的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.（2019·青岛二中月考）若集合A是由满足的所有x组成的，则a与A的关系是_______.
7.（2019·杭州二中期中考试）由实数，所组成的集合最多含有_______个元素.
8.设A是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称k是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素组成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
9.（2019·杭州学军中学高一检测）已知集合.
（1）若A是单元素集合，求集合A；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
10.（2019·清华附中检测）已知集合S满足：若.请解答下列问题：
（1）若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素；
（2）求证：若，则；
（3）在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由.
参考答案
1.
答案D
解析：列举得集合，共含有10个元素.
2.
答案：A
解析：因为，所以.故选A.
3.
答案：D
解析：因为，所以当时，；当时，；当时，.由集合中元素的互异性可知，集合中有3个元素0，2，4，所有元素之和为6.故选D.
4.
答案：A
解析：因为是一个奇数，是一个整数，所以时，一定有，故选A.
5．
答案：D
解析：因为集合={1,2,3,4,5,6}，所以集合B中元素的个数为4.故选D.
6．
答案：
解析：因为，且当.
7.
答案：2
解析：因为，所以不论取何值，该集合最多含有2个元素.
8.
答案：6
解析：由题意知，不含“孤立元”的集合有：，共有6个集合.
9.
答案：见解析
解析：（1）A中有且只有一个元素.
①当时，方程只有一个解；
②当时，由，得，此时方程有两个相等的实根.综上，当时，，.
（2）集合A中至多有一个元素，即有一个元素或没有元素.
当A中没有元素时，由；当A中有一个元素时，由（1）得或.
综上，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是.
10.
答案：见解析
解析：（1）因为，所以，所以，所以.所以集合S中另外的两个元素为.
（2）证明：由题意，可知，由，即.
所以若.
（3）解：集合S中的元素不可能只有一个.理由如下：令，即.因为，所以此方程无实数解，所以.因此集合S中不可能只有一个元素.
3 / 5《集合及其表示方法》学考通关练
1.（2019·张家口联考）下列四组对象，能组成集合的是（ ）
A.某班所有高个子的学生
B.著名的艺术家
C.很厚的书
D.倒数等于它自身的实数
2.给出下列关系：①；②；③；④；⑤。其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.（2019·德化一中、永安一中、漳平一中高一联考）把集合用列举法表示，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2019·武威河西成功学校高一期中）已知均为非零实数,集合,则集合A中元素的个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
5.用符号“”或“”填空。
设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则P______M，q_______M。
6.（教材习题改编）下列六种表示方法:
①；②③{1，4}；④；⑤；
⑥。
其中，能表示“一次函数的图像的交点组成的集合”的是______（把所有正确的答案的序号填在横线上）。
7.（2019·珠海二中高一检测）已知集合，若A中的元素最多有一个，求a的取值范围。
参考答案
1.
答案：D
解析：“高个子的学生”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，排除A；“著名的艺术家”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，排除B；“很厚的书”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，排除C；倒数等于它自身的实数为1与，满足集合的定义，故选D。
2.
答案：B
解析：①，正确；②，错误：③，正确；
④，错误；⑤，错误。所以正确的个数为2。故选B。
3.
答案：A
解析：解方程得或，用列举法表示方程的解集为。
4.
答案：A
解析：当时，
当时，；
当时，；
当时，。故集合中元素的个数为2。故选A。
5.
答案：
解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故。
6.
答案：②⑤
解析：①只含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同；③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素；④没用“{}”括起来，不表示集合；⑤中只含有一个元素，且为点集，与方程组的解集对应；⑥代表元素与方程组的解的一般形式不符，需加小括号，条件中“或”也要改为“且”。
7.
答案：见解析
解析：当时，原方程为，符合题意；当时，方程为一元二次方程，由题意得，所以。当时，方程有两个相等的实根或无实根。
综上所述，a的取值范围为。
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