6.2 黄金分割 课件 (共24张PPT)

(共24张PPT)
黄金分割
Golden section
苏科版九年级下册第6章图形的相似
教学目标
01
通过建筑、艺术上的例子，了解黄金分割、黄金分割点、黄金比的意义
02
能利用黄金分割的相关概念进行简单的计算
知识精讲
情境引入
01
凡是美的东西，都有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致
——毕达哥拉斯
知识精讲
情境引入
01
东方明珠塔，塔高468米。
在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型（如图1）。
后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体（如图2）
知识精讲
情境引入
01
我们可以建立如图所示的数学模型，度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值.
东
方
明
珠
塔
“黄金分割点”究竟特别在哪里呢？
计算可得：
AB：AC≈0.62
BC：AB≈0.62
推测：
AB：AC=BC：AB
知识精讲
情境引入
01
芭蕾舞演员表演时，身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。
为什么舞台上翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖呢？
因为踮起脚尖可以让芭蕾舞演员的下半身显得更加修长，给人以匀称、协调的美感。
知识精讲
情境引入
01
让我们从数学角度来分析“这种美感”产生的根源
度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值.
计算可得：
AB：AC≈0.62
BC：AB≈0.62
推测：
AB：AC=BC：AB
知识精讲
情境引入
01
古希腊数学家、天文学家欧多克赛斯提出一个问题∶
能否将一条线段 AC分成不相等的两部分，使较短的线段BC与较长线段AB的比等于AB与原线段AC的比？（如图）
解：设AC=“1”，AB=x，则BC=AC-AB=1-x
由=，得：=x，即x ＋x-1=0
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去）
∴AB=，∴==
02
知识精讲
黄金分割
1、如图，点B把线段AC分成两部分，如果=（BC2、上述=可转化为：
（1）AB2=BC·AC；（2）=
02
知识精讲
议一议：“黄金分割”在生活中还有哪些应用呢？
数学课本是长方形，其宽与长的比约为0.618
一片树叶也蕴含着“黄金分割”
鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618
……
02
知识精讲
议一议：一条线段有几个黄金分割点？以线段AC为例
∴线段的黄金分割点有两个
A
C
【分析】
设B为黄金分割点
①若B1靠近点A（AB1②若B2靠近点C（AB2>BC）
B1
B2
02
知识精讲
议一议：已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
【分析】
B点有两种可能性，需分类讨论
A
C
B1
B2
①AB1∵点B为线段AC的黄金分割点
∴=
∴==1-=1-=
∴AB=(1-)AC=AC
②AB2>BC2
∵点B为线段AC的黄金分割点
∴=
∴AB=AC
02
知识精讲
【题型：求线段的长】
已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
①ABBC时AB=AC
题型总结
例1-1、已知点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB），AB=6，那么AP的长是____________cm.
【分析】
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB）
∴AP=AB=×6=3-3
3-3
【求线段的长】
例1-2、已知点P是线段AB的黄金分割点（AP【分析】
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP∴AP=AB=×6=9-3
9-3
例1-3、已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=6，那么AP的长是____________________cm.
【分析】
由例1-1得：AP＞PB，AP=3-3
由例1-2得：AP综上，AP=3-3或AP=9-3
3-3或9-3
例2、地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是________________________．（黄金比为0.618）
【分析】
∵90°×0.618=55.62°，
90°-55.62°=34.38°，
∴黄金地带纬度的范围是：
34.38°～55.62°．
34.38°～55.62°
例3、如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形共有________个．
【分析】
∵矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，
∴黄金矩形还有矩形AEGH，矩形GHFB，
∴图中黄金矩形共有3个
3
【黄金矩形的判定】
例4、如图，P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论成立的个数是________个．
（1）＝；
（2）AB：AP=AP：PB；
（3）BP2=AP·AB；
（4）≈0.618．
【分析】
∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴＝ ，即＝，AP2=BP·AB，
∴（1）正确；（2）正确；（3）错误；
∵黄金比为0.618，
∴≈0.618，（4）正确．
【黄金分割比例的变形式】
3
例5、如图，C是AB的黄金分割点，BG=AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的矩形的面积为S2，则S1________S2（填“＞”“＜”“=”）．
【分析】
由题意得：S1：S2=
∵C是AB的黄金分割点，且AC>BC
∴=，即AC2=BC·AB
∴S1：S2=1，即：S1=S2．
=
例6、采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD=AB，连接DA，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE．点C就是线段AB的黄金分割点，你能说说其中的道理吗？
【分析】证明AC=AB即可
设AB=2a，则BD=a，DE=a，
在Rt△ABD中，AD==a,
∴AE=AD-DE=a-a=(-1)a,
∴AC=AE=(-1)a，即AC=AB，
∴点C就是线段AB的黄金分割点．
【黄金分割点的画法】
例3、如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB=AD=CD=2，且BD【分析】
如图，过A作AE⊥BD于E
∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD∴BD=×CD=-1
∵AE⊥BD，AB=AD
∴BE=DE=BD=
∴CE=CD+DE=2+=，AE2=AB2-BE2=22-()2=
【综合题】
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AC=
==+1
+1
课后总结
1、如图，点B把线段AC分成两部分，如果=（BC2、上述=可转化为：
（1）AB2=BC·AC；（2）=
【题型：求线段的长】
已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
①ABBC时AB=AC
线段的黄金分割点有两个
谢谢学习
Thank you for learning