24.7.1 弧长与扇形面积 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
弧长与扇形面积
24.7.1 弧长与扇形面积
学习目标
1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
24.7.1 弧长与扇形面积
新课导入
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
24.7.1 弧长与扇形面积
讲授新课
与弧长相关的计算
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
思考
24.7.1 弧长与扇形面积
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
24.7.1 弧长与扇形面积
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为
弧长公式
知识要点
24.7.1 弧长与扇形面积
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的度数为n°，则
解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
例1 一滑轮装置（如图），滑轮的半径 R =10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）
24.7.1 弧长与扇形面积
例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
由此估算出了地球的周长，你能
进行计算吗？
O
α
A
S
）
24.7.1 弧长与扇形面积
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C，则
答：地球的周长约为39625km.
=250000 (希腊里)
≈39625 (km).
∴
24.7.1 弧长与扇形面积
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
概念学习
24.7.1 弧长与扇形面积
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
24.7.1 弧长与扇形面积
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
合作探究
24.7.1 弧长与扇形面积
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
24.7.1 弧长与扇形面积
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
扇形面积公式
知识要点
24.7.1 弧长与扇形面积
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
24.7.1 弧长与扇形面积
例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
24.7.1 弧长与扇形面积
例4 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°.
(1) 求∠AOC的度数；
(2) 若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同
圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的关系求得
∠AOC的度数；(2)先求出⊙O的半径，再求出圆心
角∠BOC的度数，利用面积割补法求出阴影部分的面积．
分析：
24.7.1 弧长与扇形面积
(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE， .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝ BC＝3.
在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ x＝3，解得x＝ .
∴OE＝ ，OC＝2 .
∵ ，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC
＝ ×π×(2 )2－ ×6× ＝4π－3 .
解：
24.7.1 弧长与扇形面积
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
知识要点
24.7.1 弧长与扇形面积
随堂练习
C
B．
C. D.
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
24.7.1 弧长与扇形面积
3. 如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm.
2π
4.AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则劣弧BC的长为(　　)
π B. π C. π D. π
B
24.7.1 弧长与扇形面积
5. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ．
6. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
24.7.1 弧长与扇形面积
7. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
(精确到0.01cm2）
O
A
B
D
C
E
解：
24.7.1 弧长与扇形面积
8. 如图，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．
如图，过点C作CD⊥AO，交AO的延长线于点D.
∵OA＝OB＝6 cm，C为OB的中点，∴OC＝3 cm.
∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°，∠OCD＝30°.
∴在Rt△CDO中，OD＝ OC＝ cm，
CD＝ (cm)．
∴S△AOC＝ ＝(cm2)．
又∵S扇形AOB＝ ＝12π(cm2)，
∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOC＝ ＝(cm2).
解：
24.7.1 弧长与扇形面积
课堂小结
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
公式
24.7.1 弧长与扇形面积