第24章 圆 小结与复习 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
小结与复习
第24章 圆 小结与复习
要点梳理
一.旋转的有关概念及性质
1.在平面内，一个图形绕着一个定点（如点O），旋转一定的角度（如θ），得到另一个图形的变换，叫做_____.定点O叫做__________，θ叫做_______.
旋转
旋转中心
旋转角
(1) 对应点到旋转中心的距离相等;
(2) 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角;
(3)旋转中心是唯一不动的点.
3.旋转的性质
2.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
后，能够与原图形重合，这样的图形叫做______________，这个定点就是__________ .
旋转对称图形
旋转中心
第24章 圆 小结与复习
1.把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180 ，得到一个能够与它重合的图形(如△CDO)，这时，图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称叫做_________，点O就是________.这两个图形中的对应点叫做关于中心的_________.
二.中心对称的有关概念及性质
中心对称
对称中心
对称点
2.把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做_______________，这个定点叫做它的_________，互相重合的点叫做________.
中心对称图形
对称中心
对称点
成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心________.
3.中心对称的性质
对称中心
平分
第24章 圆 小结与复习
三、圆的基本概念及性质
1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
．
O
第24章 圆 小结与复习
四、点与圆的位置关系
●A
●B
●C
点与圆的位置关系 点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d﹥r
d=r
d﹤r
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五、圆的对称性
1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
第24章 圆 小结与复习
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
第24章 圆 小结与复习
●O
A
B
C
D
M└
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
六、垂径定理及推论
第24章 圆 小结与复习
垂径定理的逆定理
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●O
C
D
A
B
●
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
M
第24章 圆 小结与复习
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.
七、圆周角和圆心角的关系
∠BAC= ∠BOC
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推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
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推论：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
∴ ∠ACB=90°
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八、直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系 直线名称 直线与圆的交点个数
相离
相切
相交
●
l
d
r
0
切线
d﹤r
割线
2
d﹥r
—
d=r
1
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九、切线的判定与性质
1.切线的判定一般有三种方法：
a.定义法：和圆有唯一的一个公共点
b.距离法： d=r
c.判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线
是圆的切线.
2.切线的性质：
圆的切线垂直于经过且点的半径.
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切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
3.切线长及切线长定理
第24章 圆 小结与复习
十、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
重要结论
B
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十一、圆内接正多边形
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
1.概念
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①正多边形的内角和=
②中心角=
圆内接正多边形的有
关概念及性质
2.计算公式
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十二、 圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________.
或
3.弓形面积公式
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
第24章 圆 小结与复习
(3)圆锥的侧面积为　 　.
[注意] 圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个　 　.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　.
扇形
l
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考点一 旋转变换
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
解析：（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；
（2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
考点精讲
第24章 圆 小结与复习
F
解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得，DC=FC，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC=∠EFC=90°．
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考点二 与圆有关的概念
2. 在图中，BC是⊙O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
解析 根据圆周角定理的推论可知， ∠B= ∠D=36°, ∠BAC=90°，所以∠BAD=54°，故选B.
B
O
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3 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = mm.
8 mm
A
B
解析 连接 OA，过点 O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
方法归纳 在圆中涉及弓形求线段长问题时，常构造直角三角形来解决.
8
C
D
O
考点三 垂径定理及其应用
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4. 如图，⊙O的直径AE=4cm，∠B=30 °，则AC= .
A
B
C
E
O
2cm
解析 连接CE，则∠E= ∠B=30°, ∠ACE=90°，所以AC= AE=2cm.
方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.
考点四 圆周角定理
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考点五 点或直线与圆的位置关系
5. 如图，已知∠NON=30°，P是ON上的一点，OP=5㎝，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与⊙P只有一个公共点，求r的值或取值范围.
解：当射线OM与⊙P相切时，射线OM
与⊙P只有一个公共点.
过点P作PA⊥OM于A，如图所示.
在Rt△AOP中，r=PA=OP·sin∠POA=2.5（㎝）.
第24章 圆 小结与复习
当射线OM与⊙P相交且点O在⊙P内时，射线OM与⊙P只有一个公共点.如图2所示.
∵射线OM与⊙P相交，则r＞2.5㎝ ···①
又∵点O在⊙P内，则r＞OP，即r＞5㎝ ···②
综合①、②可得r＞5.
综上所述，当射线OM与⊙P
只有一个公共点时，r=2.5㎝或r＞5㎝.
图2
第24章 圆 小结与复习
6. 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD，如图.∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
又∵DE平分CB，∴DE＝ BC＝BE.
∴∠EDB＝∠EBD.
又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，
即∠ABC＝90°.∴BC与⊙O相切．
考点六 切线的性质与判定
第24章 圆 小结与复习
如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，
求图中阴影部分的面积.
【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点C'的位置，则构造出一个直角三角形AC'C，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.
考点七 圆内接正多边形
第24章 圆 小结与复习
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为 .
∴正方形ABCD的边长为
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8.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
（2）一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.
40cm
120
解析 (1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即
及 ;还要熟记圆锥及其侧面展开图之间存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.
考点八 弧长和扇形面积
第24章 圆 小结与复习
10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）.
（1）求证：CD=CF；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求直线AD的函数表达式.
考点九 有关圆的综合性题目
第24章 圆 小结与复习
（1）证明：过点D作DH⊥x轴于H，则∠CHD=∠COF=90°，如图所示.
∵点F（0，1），点D（6，-1），∴DH=OF=1.
∵∠FCO=∠DCH，
∴△FOC≌△DHC，
∴CD=CF.
（2）解：⊙P与x轴相切.理由如下：
连接CP，如图所示.
∵AP=PD，CD=CF，∴CP∥AF.
∴∠PCE=∠AOC=90°.
∴⊙P与x轴相切.
第24章 圆 小结与复习
（3）由（2）可知CP是△ADF的中位线.
∴AF=2CP. ∵AD=2CP，∴AD=AF.
连接BD，如图所示.∵AD为⊙P的直径，
∴∠ABD=90°.
∴BD=OH=6，OB=DH=OF=1.
设AD=x，则AB=AF－BF=AD－BF=AD－(OB+OF）= x－2.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2=AB2+BD2，即x2=（x－2）2+62，解得 x=10.
∴OA=AB+OB=8+1=9. ∴点A（0，－9）.
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，
把点A（0，－9），D（6，－1）代入，得
解得
∴直线AD的函数表达式为 .
第24章 圆 小结与复习
课堂小结
圆
旋转
旋转对称及其性质
中心对称及其性质
旋转对称图形
中心对称图形
圆的基本性质
垂径分弦
等圆心角
圆的确定
连半径，作弦心距，构造直角三角形
等弧
等弦
等弦心距
三角形的外接圆
圆周角
圆内接四边形的性质
作弦，构造直径所对的圆周角
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置的关系
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
与圆有关的计算
正多边形的计算
弧长与扇形面积的计算
切线的判定与性质
第24章 圆 小结与复习