专题3.7 切线长定理 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第三章 圆
3.7 切线长定理
北师大版九年级下册
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当堂检测
课堂小结
学习目标
1、理解切线长的概念和定理，学会判定圆的切线，并且求出切线的长；
2、利用切线长定理证明与圆切线相关的几何题；
3、掌握切线长定理与圆其他知识点的综合应用；
导入新课
观察与思考
问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
O.
P
A
B
直径所对的圆周角是直角.
讲授新课
知识点一 切线长的概念和切线的定理
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
合作探究
B
P
O
A
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO
推导与验证
如图，连接OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
要点归纳
B
P
O
A
O
P
A
B
C
E
D
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
⑴ △PDE的周长是 ；
例1 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵ ∠DOE= ____ .
典例精析
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
O
P
A
B
C
E
D
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
同理可得∠COE= ∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+
∠COB）=70°.
切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
A
C
B
E
D
F
O
当堂练习
1．如图，○O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与○O相切于E点．若○O的半径为4，且AB=10，则DE的长度为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】连接OE,OF,OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF．
【点睛】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．
2．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，且∠C=90°．已知AC=12，BC=5，则四边形OFCE的面积为（ ）
A．1 B．15 C． D．4
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再连接OD，设半径为r，再根据切线长定理，AF=AD，BE=BD，AD+BD=AB，得到关于r的方程，解方程，即可求出四边形OFCE的面积．
3．如图，P为○O外一点，PA、PB分别切圆O于点A、B，CD切○O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，CA=CE，DE=DB，再利用△PCD的周长为18得到PC+CE+DE+PD=18，然后利用等线段代换得到PA+PB=18，从而得到PA的长．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线长定理是解决问题的关键．
4．如图，○O的半径是1，点P是直线y=-x+2上一动点，过点P作○O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意设P(a，-a+2)，则OP的长可以表示出来，根据圆O的半径是1得OA=1，根据AP是圆O的切线得∠OAP=90°，即可得△OAP是直角三角形，在Rt△OAP中，根据勾股定理得AP2=OP2-OA2，即可得AP2的值，根据二次函数的性质得当a-1=0时，AP有最小值，即可得．
5．如图，PA，PB分别与○O相切于点A，B ，直线EF与○O相切于点C，分别交PA，PB于E，F，且PA=4，则△PEF的周长为______cm．
【答案】8
【分析】根据切线长定理可知AE=CE、BE=CF，进而可求出结果；
【详解】解：∵PA，PB分别与○O相切；
∴ PA=PB=4（cm）
∵EC、EA分别与○O相切
∴AE=CE
同理：BF=CF
∴ C△PEF=8
故答案为：8
6．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若△ABC的周长为15cm，BC=4cm，则剪下的△AMN的周长为________cm．
【答案】7
【分析】根据切线长定理求得BC+BD+CE=2BC=8，MN+MA+AN=AD+AE=15-8=7，即可求解．
【详解】解：∵○O是三角形纸片ABC的内切圆，MN与○O相切，
∴BC+BD+CE=2BC=8，MN+MA+AN=AD+AE=15-8=7，
即剪下的△AMN的周长为7cm，
故答案为：7．
7．如图，○O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则BF=_______．
【答案】10
【分析】设BF=BD=x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，PA和PB是圆O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画○O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA=PB=5cm，则△PDE的周长为___________cm．
【答案】10
【详解】解：∵PA和PB是圆O的两条切线，
∴PA=PB，
同理可得：DA=DC,EB=EC，
∴△PDE的周长
=PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE
=PA+PB=10（cm）．
故答案为：10．
9．如图，AB是圆O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
(1)求证：AC=CG；
(2)若CD=EG=8，求圆O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据DF⊥CG，CD⊥AB可得∠D=∠G，再由圆周角定理可得∠A=∠D，从而得到∠A=∠G，即可求证；
（2）连接OC，根据等腰三角形的性质和垂径定理可得AE=EG=8,EC=ED=4，然后在Rt△OEC中，由勾股定理，即可求解．
10．如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC的中点，DE⊥AC于E，连接AD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE=1，AB=4，求AD的长
证明：连接OD，
则：OA=OD,∠ODA=∠OAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∠B+∠ABD=90°
∴∠CDE+∠EDA=90°
又∵D是BC的中点，
∴AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠BAD，
又∵∠ODA=∠OAD，∠CDE+∠EDA=90°，
∴∠ODA+∠EDA=90DU3，即：∠ODE=90°，
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线．
解：∵∠CDA=∠CED=90°，∠CAD=∠CAD，
∴，
∴AD2=AE·AC，
∴AC=AB=4，
∴AD2=1×4=4，
∴AD=2或AD=-2（舍）；
∴AD的长为2．
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形