全等三角形证明写理由

全等三角形证明填理由
１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
证明：延长AB到　　，使AE＝　　　　，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD（　　　　　　　　　　　）
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （　　　　　）
∴∠E＝∠C（　　　　　　　　　　　　　　）
∵AC＝AB+BD　　∴AE＝AB+BD（　　　　　　　　）
∵AE＝AB+BE　　　∴BD＝BE（　　　　　　　　　）
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE　　　∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
2． 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，　　　　
求证：AE=AD+BE
证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB 　∴∠CEB＝∠CEF＝90°（　　　　　　　　）
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF（　　　）
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA （　　　　　　　　　　　）
∵AC平分∠BAD 　　　∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（　　　） 　　　　∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
证明：在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（　　　）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD　　　
∴∠A+∠D=180 （　　　　　　　　　　　　　　　　）　　
∵∠BFE+∠CFE=180 　　　∴∠D=∠CFE（　　　　　　　　　　　　）
又∵∠DCE=∠FCE ， CE平分∠BCCE　　， CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（　　　）
∴CD=CF　　　　∴BC=BF+CF=AB+CD
已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）．∵∠A=∠D，∴　∠　　　＝∠　　　（　　　　　　　　）
∴△AED是等腰三角形（　　　　　　　　　　　　　　　　）
∴AE=DE　　而AB=CD　　　∴BE=CE (　　　　　　　　）
∴△BEC是等腰三角形　　　　∴∠B=∠C.（　　　　　　　　　　　　）
５． 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
证明：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC 　　 ∴△BDC是等腰三角形（　　　　　　　　　　）
∴∠DBC=∠DCB（　　　　　　　　　　　　　　　）
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（　　　　　　　　　　　　　）
即∠ABC=∠ACB　　　　∴△ABC是等腰三角形（　　　　　　　　　　　　）　
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
∵　AB=AC（　　　）　，　∠1=∠2（　　）　　，　　 BD=DC（　　　）
∴△ABD≌△ACD（　　　）　　　　　 ∴∠BAD=∠CAD
∵　AB=AC　 ∴AE是BC边上的　　　线（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
∴AE⊥BC 　　　即AD⊥BC
６． 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°（　　　　　　　　　　　　）
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（　　　　　　　　　　　）
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（　　　）　　∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，　　∵AE⊥AB，　　　∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（　　　　　　　　　）　　∴∠ABF+∠BDM=90°（　　　　　　　　　　　　　）
在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，　　∴EC⊥BF．
７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：（1）　∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠CAN（　　　　　　　　　　　　　　　　）
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC（　　　　）　　　∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC（　　　）　　　∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠４=90°　　∴∠３+∠４=90°　　即∠MAN=90°　　∴AM⊥AN
８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H, ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴∠ACH=45 ,∠BCH=45
∵∠CAH=90 -∠CDA, ∠BCE=90 -∠CDA ∴∠CAH=∠BCE（　　　　　　）
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45
∴△ACH≌△CBE（　　）　 ∴CH=BE　　又∵∠DCH=∠B=45 , CD=DB
∴△CFD≌△BED（　　）　　∴∠ADC=∠BDE
A
B
C
D
A
E
B
M
C
F
A
B
C
D
E
F