沪科版八年级上册数学 15.4.2角平分线的性质定理 教案

15.4 角的平分线
一、教学目标
1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力。
2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。
3.渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性。体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题。
二、教学重点和难点
1.重点：（1）角平分线的性质和判定。（2）点到角的边的距离要强调垂直关系。
2.难点：（1）分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式。
（2）把角平分线看作点的集合。
三、教学方法
引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。
四、教学手段
利用投影仪、教具（等腰三角形纸片）使教学反馈速度快、直观。
五、教学过程
（一）复习提问
1.角平分线的概念，角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。
2.点到直线（或射线）距离的意义。
（二）引入新课
第一节课已经介绍过角的平分线的概念，那么它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分线？同学们首先看（教具）。
（1）有一张剪好的纸片，怎样找这个角的平分线？（引导学生回答）。
（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图3－48。如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图3－49中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对。由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其它的性质，这节我们就来研究这个问题。
（三）讲解新课
定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
要向学生讲明，证明这个定理，首先要分清题设和结论，既为写已知、求证做准备，又为引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础，然后把条件和结论具体化，符号化，写出已知、求证和证明。
题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥⊥OB，垂足分别是D、E，（如图3－50）
求证：PD＝PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）。
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO（已知），
∠AOC＝∠BOC（已知），
OP＝OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）。
定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有三个，角的平分线，点在该平分线上，垂直距离。作用是证明线段相等。
如图3－51，填写使BC＝BD成立所需的条件： ， BC＝BD。
猜想图3－51中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC＝BD，可以得到什么结论？
用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？
定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
引导学生分析条件、结论，画出图形，写出已知、求证和证明。
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD＝PE，如图3－52。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：经过点P作射线OC。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP＝OP（公共边），
PD＝PE（已知），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）。
∴OC是∠AOB 的平分线。
想一想：
在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相等”的点吗？
并说明为什么？
在角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？
由定理1、2可知，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离相等。于是得到下面的结论：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
此结论为以后研究轨迹打下基础。
例：已知：如图3－53，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，B、D为垂足，线段AC平分∠C，求证：BC＝DC。
分析：要证BC＝DC，须证点C在∠A平分线上，
须证∠1＝∠2，即证90°－∠3＝90°－∠4，这由已知条件线段AC平分∠C便可得证。
（例题讲解利用投影仪PPT展示）
（四）课堂小结：
（1）定理1是角平分线的性质定理，只要证出一射线是某角的平分线，就可知道它上面的点到角的两边距离相等，利用它可以证明线段相等；定理2是角平分线的判定定理，只要证出一个点到角的两边距离相等，就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线，利用它可以证明角相等。
（2）用这两个定理，一定具备两个垂直距离（即点到直线的距离）。证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样作实际是重新证了一次定理）。