江苏省宿迁市北大附属宿迁实高2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

北大附属宿迁实高2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一页）
1.已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.设，是非零向量，则是成立的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
3.设复数，，满足，且，则选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
5.设是等差数列，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6.在矩形中，，，点为的中点，点在，若，则的值是（ ）
A. B.2 C.0 D.1
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.的最小值为4
10.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（ ）
A.最小正周期为 B.图象关于点对称
C.图象关于直线对称 D.在区间上的值域为
11.已知向量，，，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A.与的夹角为钝角 B.向量在方向上的投影为
C. D.的最大值为2
12.达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映祇，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（ ）
A.是奇函数 B.在上单调递减
C.， D.，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.平面向量与的夹角为60°，，，则______.
14.若不等式对任意a，恒成立，则实数的取值范围是______.
15.已知函数，若对任意的正数a，b，满足，则的最小值为______.
16.在2015年苏州世兵赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球.记第堆的乒乓球总数为，则______，______.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值.
18.（本小题12.0分）
（1）化简，并求.
（2）若，求的值.
（3）已知，，，，求的值.
19.（本小题12.0分）
设为数列的前项和，已知，，.
（I）求，并求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和.
20.（本小题12.0分）
某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值
21.（本小题12.0分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角的大小；
（2）若是的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答.
①求面积的最大值；②求的最大值.
22.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围.
（2）若函数的两个零点为，，证明：.
参考答案
1.【答案】C
【解析】解：由得，所以，由得，所以，故元素个数为5，选C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件与必要条件的判定，共线向量的定义与性质，属于基础题.由可得出，由，可得，共线同向，但不一定是，从而得出结论.
【解答】
解：对于非零向量，，由，得a，b共线同向，则；
反之，由，可得，共线同向，但不一定是，
∴是成立的充分不必要条件.故选B.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复数的模，考查复数的四则运算，属于基础题.取特殊值，用排除法可得.
【解答】
解：取，，显然满足，，但，故A错误；
取，，满足，，则，，故B错误；
再取，满足且，显然C错误.故选：D.
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义，二倍角公式，属于基础题.
利用点坐标求出，的值，利用二倍角公式求解即可.
【解答】
解：点，，则，
故.故选B.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用、等差数列的通项公式等相关知识，属于中档题，先求通项公式，再进一步研究，即可得解.
【解答】
解：设等差数列的公差为，∵，∴，
又，∴，∴.
由上述可知，
∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，
.
6.【答案】A
【解析】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属于基础题.建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积.
解：建立如图所示的坐标系，可得，，，
∴，，
∴，解得，∴
∴，，∴
故选：A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数单调性的应用，涉及对数函数、指数函数的单调性，属于中档题.
由题意知，构造函数，利用单调性得，即可得解.
【解答】解：，即，
构造函数，易知是上的增函数，
所以，所以.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式及其应用，属于中档题.
设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为，
坚直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.
【解答】
解：设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如下图所示.
易知“水滴”的水平宽度为，坚直高度为，
则由题意知，解得，
与圆弧相切于点，则，
∴在中，，
由对称性可知，，则，
∴.故选：A.
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵，
∴，，∴，故A错误，
对于B，∵，
∴，即，故B正确，
对于C，∴，∴，，
∴，即，故C正确，
对于D，，当且仅当，即时，等号成立，∵，∴取不到最小值4，故D错误.故选：BC.
对于A，结合不等式的性质，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合作差法，即可求解，对于D，根据已知条件，运用不等式的公式，即可求解.
本题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于中档题.
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，涉及正弦函数图象与性质的应用，属于中档题.
根据题意，先由函数图象得出的解析式，再由函数图象的变换得出的解析式，借助正弦函数的图象与性质得出答案即可.
【解答】
解：由图可知，，，∴
又由，可得，且，
∴，∴，
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
得到函数，
再将函数图象向右平移个单位长度，
得到函数，
∴，
对A，易知的最小正周期为，A错误；
对B，令，，得，
∴函数图象的对称中心为，
由，得，不符合，B错误；
对C，令，得，
∴函数图象的对称轴为直线，
当时，，故C正确；
对D，当时，，
令，即得，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以函数在区间上的值域为.故D正确.故答案选：CD.
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，向量的坐标运算，向量的夹角及向量投影，以及基本不等式的应用，属于中档题.
根据题意，对于A、B，由向量数量积的性质分析可得AB错误，对于C，由向量平行的表示方法，变形可得，可得C正确；对于D，由C的结论，，结合基本不等式的性质分析可得的最大值，可得D正确，综合可得答案.
【解答】
解：由题意知，，所以与的夹角为锐角，故选项A错误；
向量在方向上的投影为，故选项B错误；
，因为，
所以即，故选项C正确；
由基本不等式知，，，当且仅当时取等号，故的最大值为2，故选项D正确.故选：CD.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
直接利用函数的性质，奇偶性的应用，基本不等式，函数的导数的应用，定义新函数的应用判断ABCD的结论.
本题考查的知识要点：函数的性质，奇偶性的应用，基本不等式，定义新函数，导数及其应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.
【解答】
解：由于悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数，所以，，满足，故函数为偶函数，故A错误；
对于B：由于，所以，又，
所以，当时，，则，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于D：根据选项C：令，
所以，令，
则，
故当，即时，，
所以为增函数，又，
所以，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，上单调递增，故
所以存在，成立，故D正确.故选：BCD.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的数量积，向量的模，属于基础题.
根据题意求得，进而求得，故.
【解答】
解：∵，∴，
∵与的夹角为60°，
∴，
∴.故答案为.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值解决不等式恒成立问题，属于基础题.
由已知利用利用基本不等式求出，得到，即可求出实数的取值范围.
【解答】
解：因为a，，
所以（当且仅当时等号成立），
所以由题意得，解得.故答案为.
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求解最值，属于中档题.
通过判定的定义域，奇偶性得，再利用基本不等式可得最小值.
【解答】
解：因为，所以函数的定义域为.
因为，
所以，所以为奇函数.
又，所以，，即，
所以.
当且仅当即，时，等号成立，所以最小值为6.
16.【答案】
【解析】解：设第堆从上往下第层的乒乓球数为，
已知可得，
所以，，……，，
这个式子相加得到，
又，所以，
又时，
所以，
又，
所以，
所以，
因为当时，，
所以当，时，
，
，
又，所以当，时，，
又，，
所以时，，
所以当时，，
故答案为：，.
设第堆从上往下第层的乒乓球数为，由条件可得递推关系，利用累加法求，再由裂项相消法求.
本题考查累加法求数列通项，等差数列前项和，项相消法求和，题目综合，属于中档题.
17.【答案】解：（1）当时，，
，，，
所以切线方程为，即.
（2），
因为在处有极小值，
所以，.
，
由，得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值，满足题意，
，，
所以函数在区间上的最大值为.
【解析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，属于基础题.
（1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导函数，先根据求得的值，再利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求在上的最大值.
18.【答案】解：（1）∵，
∴.
（2）
.
（3）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
.
【解析】（1）利用诱导公式可得，进而可求.
（2）利用，可求值.
（3）利用可求值.
本题考查三角函数的诱导公式的应用，考查三角恒等变换，属中档题.
19.【答案】解（I）∵，，.
令得，令得.
当时，由，得，
两式相减得，又，则，
于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴通项公式；
（II）由（I）知，，
，①
，②
由可得
，
∴.
【解析】本题考查了利用错位相减法求数列的和，等比数列的通项公式及其前项和公式，以及数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
（I）利用递推式与等比数列的通项公式可得；
（II）利用错位相减法和等比数列前项和公式即可得出.
20.【答案】解：（1）设扇环的圆心角为，则，所以.
（2）花坛的面积为.
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用的比，
令，则，
当且仅当时取等号，此时，.
所以当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题.
（1）设扇环的圆心角为，则，即可得出关于的函数关系式；
（2）由题意得花坛的面积与装饰总费用的比，令，由基本不等式求最值即可.
21.【答案】解：（1）方法一：在中，.又因为，
所以，化简得，
所以.又因为，所以.
方法二：由正弦定理得，
可转换为，
，
，
，
，
又，所以，又因为，所以.
（2）若选①.
因为是的中点，所以.
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最大值是.
若选②.
因为M是AC的中点，所以，
所以.
在中，由余弦定理，得，
所以，所以.
所以
因为，所以，当且仅当时等号成立。
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.
【解析】略
22.【答案】解：（1）解：因为恒成立，所以，
即恒成立，
令，则，
易知在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以的取值范围为；
（2）证明：，
由题意可知方程的两根为，
令，则的两个零点为，，
，
当时，，在上单调递增，不存在两个零点；
当时，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，得，
设，则，，
因为，所以，，
要证，即要证，即证，
令，，
则，所以在上单调递减，所以，
因为，所以，
因为，，且在上单调递减，
所以，即，故成立.
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，还考查了利用导数及函数性质证明不等式.
（1）参变分离，恒成立，构造，利用导数判断单调性以及最值即可；
（2）令，的两个零点为，，得，设，则，，
，；要证，即证；
令，，结合导数可求，，且在上单调递减，即，故成立.